8 replies to this topic

[Zaraki]

Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên $a,b,c$ nhỏ hơn $20$ thỏa mãn điều kiện $a(a+1)+b(b+1)=c(c+1)$, trong đó $a$ là số nguyên tố và $b$ chia hết cho $3$.

Hãy tìm lời giải và cách mở rộng cho bài toán trên.

Edited by Phạm Quang Toàn, 31-07-2011 - 10:51.

[hungpro2246]

Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên $a,b,c$ nhỏ hơn $20$ thỏa mãn điều kiện $a(a+1)=b(b+1)=c(c+1)$, trong đó $a$ là số nguyên tố và $b$ chia hết cho $3$.

Hãy tìm lời giải và cách mở rộng cho bài toán trên.

liệu có nhầm đề ko bạn. nếu theo đề này thì a = b = c, mak a là số nguyên tố, b chia hết 3 vậy a = b = c = 3!??????
chak bạn post nhầm thôi nhỉ.

[Crystal]

Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên $a,b,c$ nhỏ hơn $20$ thỏa mãn điều kiện $a(a+1)=b(b+1)=c(c+1)$, trong đó $a$ là số nguyên tố và $b$ chia hết cho $3$.

Hãy tìm lời giải và cách mở rộng cho bài toán trên.

Mình nghĩ là $a(a + 1) + b(b + 1) = c(c + 1)$. Bạn kiểm tra lại giúp.
---------------
Đây là 1 bài mình chế từ bài trên.
Giải phương trình sau trên tập các số nguyên tố: $ x.(x + 1) + y.(y + 1) = z.(z + 1)$.


-------------------

KHÔ”NG THỬ SAO BIẾT!!!

Edited by xusinst, 31-07-2011 - 11:21.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên $a,b,c$ nhỏ hơn $20$ thỏa mãn điều kiện $a(a+1)=b(b+1)=c(c+1)$, trong đó $a$ là số nguyên tố và $b$ chia hết cho $3$.
Giải :
Giả sử : $ a > b $. Do a, b là số tự nhiên nên:
$ a( a + 1 ) > b( b + 1 )$
Không thỏa mãn yêu cầu đề bài. Tương tự với trường hợp $ a < b$.
Vậy $a( a + 1 ) = b( b + 1 )$ khi và chỉ khi $ a = b$.
Tương tự ta chứng minh được $ b = c $. Suy ra $ a = b = c$.
Do a = b nên a chia hết cho 3. Mặt khác a là số nguyên tố, do đó a = 3.
Suy ra b = c = 3.
Vậy, bộ số cần tìm là (a; b; c) = (3; 3; 3 )

[Zaraki]

Cho mình xin lỗi, đề là $a(a+1)+b(b+1)=c(c+1)$

[Crystal]

Cho mình xin lỗi, đề là $a(a+1)+b(b+1)=c(c+1)$

Mình làm thế này. Các bạn kiểm tra giúp.

Trước hết, ta giải phương trình: $a(a + 1) + b(b + 1) = k(k + 1)\,\,\,\,\,(1)$ với $a,b \in P,\,k \in N$. Ta có:
$(1) \Leftrightarrow a(a + 1) = k(k + 1) - b(b + 1) = (k - b)(k + b + 1) \Rightarrow \left. a \right|\,k - b\, \vee \,\left. a \right|k + b + 1$
Nếu $\left. a \right|\,k - b \Rightarrow a \le k - b \Rightarrow ... \Rightarrow k + b + 1 < k - b + 1$, vô lí
Do đó: $\left. a \right|k + b + 1 \Leftrightarrow k + b + 1 = ta,\,\,t > 1$
$\Rightarrow a + 1 = t(k - b) \Rightarrow a = t(k - b) - 1$
Ta lại có: $2b = (k + b) - (k - b) = (ta - 1) - (k - b) = t\left[ {t(k - b) - 1} \right] - 1 - (k - b)$
$\Leftrightarrow 2b = (t + 1)\left[ {(t - 1)(k - b) - 1} \right]\,\,\,(2)$
Ta có: t+1>2. Do đó ta có: $\left[ \begin{array}{l}t + 1 = b \\ t + 1 = 2b \\ \end{array} \right.$
* Nếu t+1=b thì (t-1)(k-b)=3 $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 1 \\ t - 1 = 3 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 \\ t = 4 \\ \end{array} \right.$
t=2, ta có: $b = 3 \Rightarrow k - 3 = 3 \Rightarrow k = 6,\,a = 5$
t=4, ta có: $b = 5 \Rightarrow k - 5 = 1 \Rightarrow k = 6,\,a = 3$
* Nếu t+1=2b thì (t-1)(k-b)=2 $\Rightarrow t - 1 = 1,\,k - b = 2 \Rightarrow t = 2,\,b \notin N$
hoặc $t - 1 = 2,\,k - b = 1 \Rightarrow t = 3,\,b = 2,k = 3 \Rightarrow a = 2$.
Do đó pt (1) có các nghiệm nguyên dương là: $\left[ \begin{array}{l}a = 5;\,\,b = 3;\,\,k = 6 \\ a = 3;\,\,b = 5;\,\,k = 6 \\ a = 2;\,\,b = 2;\,\,k = 3 \\ \end{array} \right.$
Theo ycbt thì ta được a=5, b=3, c=6.

P/s: Bài này là 1 trường hợp của bài giải phương trình mà mình đã post ở trên.

------------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

Edited by xusinst, 31-07-2011 - 11:55.

[Didier]

Mình làm thế này. Các bạn kiểm tra giúp.

Trước hết, ta giải phương trình: $a(a + 1) + b(b + 1) = k(k + 1)\,\,\,\,\,(1)$ với $a,b \in P,\,k \in N$. Ta có:
$(1) \Leftrightarrow a(a + 1) = k(k + 1) - b(b + 1) = (k - b)(k + b + 1) \Rightarrow \left. a \right|\,k - b\, \vee \,\left. a \right|k + b + 1$
Nếu $\left. a \right|\,k - b \Rightarrow a \le k - b \Rightarrow ... \Rightarrow k + b + 1 < k - b + 1$, vô lí
Do đó: $\left. a \right|k + b + 1 \Leftrightarrow k + b + 1 = ta,\,\,t > 1$
$\Rightarrow a + 1 = t(k - b) \Rightarrow a = t(k - b) - 1$
Ta lại có: $2b = (k + b) - (k - b) = (ta - 1) - (k - b) = t\left[ {t(k - b) - 1} \right] - 1 - (k - b)$
$\Leftrightarrow 2b = (t + 1)\left[ {(t - 1)(k - b) - 1} \right]\,\,\,(2)$
Ta có: t+1>2. Do đó ta có: $\left[ \begin{array}{l}t + 1 = b \\ t + 1 = 2b \\ \end{array} \right.$
* Nếu t+1=b thì (t-1)(k-b)=3 $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 1 \\ t - 1 = 3 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 \\ t = 4 \\ \end{array} \right.$
t=2, ta có: $b = 3 \Rightarrow k - 3 = 3 \Rightarrow k = 6,\,a = 5$
t=4, ta có: $b = 5 \Rightarrow k - 5 = 1 \Rightarrow k = 6,\,a = 3$
* Nếu t+1=2b thì (t-1)(k-b)=2 $\Rightarrow t - 1 = 1,\,k - b = 2 \Rightarrow t = 2,\,b \notin N$
hoặc $t - 1 = 2,\,k - b = 1 \Rightarrow t = 3,\,b = 2,k = 3 \Rightarrow a = 2$.
Do đó pt (1) có các nghiệm nguyên dương là: $\left[ \begin{array}{l}a = 5;\,\,b = 3;\,\,k = 6 \\ a = 3;\,\,b = 5;\,\,k = 6 \\ a = 2;\,\,b = 2;\,\,k = 3 \\ \end{array} \right.$
Theo ycbt thì ta được a=5, b=3, c=6.

P/s: Bài này là 1 trường hợp của bài giải phương trình mà mình đã post ở trên.

------------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

tớ thấy đoạn t+1=bVt+1=2b có vẻ ko đc hợp lí cho lắm vì b ko phải là số nguyên tố

[Zaraki]

Đáp số không chỉ chắc là $a=5,b=3,c=6$ đâu bạn! Thử lấy VD như $a=2,b=0,c=2$ chẳng hạn!

[Zaraki]

Sao lâu nay ít người giải thế nhỉ, xin đưa ra lời giải luôn

Từ giả thiết $a(a+1)+b(b+1)=c(c+1) \ \ \ \ \ \ \ (1)$
Ta thấy ngay $1<a \le c$ và $0 \le b<c $ nên $c-b>0$

Cũng từ (1) ta có
$a(a+1)=c^2-b^2+c-b=(c-b)(c+b+1) \ \ \ \ \ \ \ (2)$
Vì $a$ là số nguyên tố nên $c-b$ hoặc $c+b+1$ chia hết cho $a$.

1) Nếu $c-b$ chia hết cho $a$ thì $a \le c-b$ và từ (2) có $c+b+1 \le a+1 \le c-b+1$ nên $b=0$. và $a=c$. Ta có nghiệm $(a;b;c)$ là $(a;0;a)$ với $a$ là số nguyên tố nhỏ hơn $20$.

2) Nếu $c+b+1$ chia hết chio $a$, ta đặt $c+b+1=ak \ (3)$ với $k$ nguyên dương, lúc đó $b \ge 0$ và $c \ge a$ nên $k \ge 2$.
Thay (3) vào (2), suy ra $a+1=k(c-b) \ \ \ \ \ \ (4)$
(còn nữa, mình hơi bận nên sau post tiếp)

Edited by Phạm Quang Toàn, 07-08-2011 - 21:45.