Chủ đề này có 5 trả lời

[zkobez]

Chứng minh rằng với x,y,z là các số thực dương sao cho $ xyz=1$
$ \dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2}+\dfrac{1}{(1+z)^2}+\dfrac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}$ $ 1 $




Mod: Lần sau bạn nên gõ đề cẩn thận hơn nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 18-08-2011 - 19:40

[wallunint]

CMR với x,y,z là các số thực dương sao cho $ xyz=1$
$ \dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}+\dfrac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}$ $ 1 $

Đề của bạn zkobez hơi lạ đó à zz
Nếu đúng thì để phải thế này zz

Chứng minh rằng với x,y,z là các số thực dương sao cho $ xyz=1$
$ \dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2}+\dfrac{1}{(1+z)^2}+\dfrac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}$ $ 1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 18-08-2011 - 12:41

[zkobez]

Đề của bạn zkobez hơi lạ đó à zz
Nếu đúng thì để phải thế này zz

Chứng minh rằng với x,y,z là các số thực dương sao cho $ xyz=1$
$ \dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2}+\dfrac{1}{(1+z)^2}+\dfrac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}$ $ 1 $

Bạn sữa lại đúng rồi, thank nhé mình ẩu quá !

[NguyThang khtn]

Chứng minh rằng với x,y,z là các số thực dương sao cho $ xyz=1$
$ \dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2}+\dfrac{1}{(1+z)^2}+\dfrac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}$ $ 1 $
Mod: Lần sau bạn nên gõ đề cẩn thận hơn nhé!

Đặt :
$x=\dfrac{ab}{c^2};y=\dfrac{cb}{a^2};x=\dfrac{ac}{b^2}$
Khi đó:
$VT= \sum\dfrac{c^4}{(ab+c^2)^2}+\dfrac{2a^2b^2c^2}{(ab+c^2)(ac+b^2)(bc+a^2)}$
Ap dụng BDT Cauchy-chwarz:
$ (ab+c^2)^2 \leq (a^2+c^2)(b^2+c^2)$

$(ab+c^2)(ac+b^2)(bc+a^2) \leq (a^2+c^2)(b^2+c^2)(a^2+b^2)$
Do đó:

$VT= \sum\dfrac{c^4}{(ab+c^2)^2}+\dfrac{2a^2b^2c^2}{(ab+c^2)(ac+b^2)(bc+a^2)}$
$\geq \dfrac{\sum c^4(a^2+b^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)(a^2+b^2)}=1$

[zkobez]

Đặt :
$x=\dfrac{ab}{c^2};y=\dfrac{cb}{a^2};x=\dfrac{ac}{b^2}$
Khi đó:
$VT= \sum\dfrac{c^4}{(ab+c^2)^2}+\dfrac{2a^2b^2c^2}{(ab+c^2)(ac+b^2)(bc+a^2)}$
Ap dụng BDT Cauchy-chwarz:
$ (ab+c^2)^2 \leq (a^2+c^2)(b^2+c^2)$

$(ab+c^2)(ac+b^2)(bc+a^2) \leq (a^2+c^2)(b^2+c^2)(a^2+b^2)$
Do đó:

$VT= \sum\dfrac{c^4}{(ab+c^2)^2}+\dfrac{2a^2b^2c^2}{(ab+c^2)(ac+b^2)(bc+a^2)}$
$\geq \dfrac{\sum c^4(a^2+b^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)(a^2+b^2)}=1$

A ơi em ko hiểu chỗ này $VT= \sum\dfrac{c^4}{(ab+c^2)^2}$
A khai triển ra rõ tí được ko a
Với chỗ này em ko hiểu sao ra bằng 1 : $\geq \dfrac{\sum c^4(a^2+b^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)(a^2+b^2)}=1$

[dark templar]

A ơi em ko hiểu chỗ này $VT= \sum\dfrac{c^4}{(ab+c^2)^2}$
A khai triển ra rõ tí được ko a
Với chỗ này em ko hiểu sao ra bằng 1 : $\geq \dfrac{\sum c^4(a^2+b^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)(a^2+b^2)}=1(1)$

Chà chà em bboy14crew làm ẩu quá
Trả lời cho em zkobez:

$\sum_{cyc}\dfrac{c^4}{(ab+c^2)^2}=\dfrac{a^4}{(a^2+bc)^2}+\dfrac{b^4}{(b^2+ac)^2}+\dfrac{c^4}{(c^2+ab)^2}$

Chỗ (1) em bboycrew làm thiếu đấy ! Phải là $\dfrac{\underset{sym}{\sum}a^4(b^2+c^2)+2a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}=1$
Còn lý do tại sao nó bằng 1 thì em nhớ luôn cái khai triển này nhé:

$(a+b)(b+c)(c+a)=\sum_{sym}ab(a+b)+2abc$