Tìm hàm số
#1
Đã gửi 31-08-2011 - 12:53
#2
Đã gửi 31-08-2011 - 13:42
Đạo hàm hai vế của (1) theo ẩn x, ta có:Tìm hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R sao cho ${f^2}\left( x \right) = \int\limits_0^x {\left( {{f^2}\left( t \right) + {{f'}^2}\left( t \right)} \right)} dt + 2011$ (1)
$2f(x).f'(x) = f^2 (x) + f'^2 (x) \Leftrightarrow \left[ {f(x) - f'(x)} \right]^2 = 0 $
$ \Leftrightarrow f(x) = f'(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = e^{x + C} \\ f(x) = 0 \\ \end{array} \right. $
Dễ thấy f(x) = 0 không phải là nghiệm của (1).
Thay $ f(x) = e^{x + C} $ vào (1), ta có:
$e^{2x + 2C} = 2\int\limits_0^x {e^{2t + 2C} dt} + 2011 $
$ \Leftrightarrow e^{2x + 2C} = e^{2x + 2C} - e^{2C} + 2011 $
$ \Leftrightarrow 2C = \ln 2011 \Leftrightarrow C = \ln \sqrt {2011} $
Vậy:
$f(x) = e^{x + \ln \sqrt {2011} } = \sqrt {2011} .e^x $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 31-08-2011 - 16:09
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#3
Đã gửi 31-08-2011 - 13:51
Cảm ơn lời giải của anh E. Galois nhưng anh kiểm tra lại từ đoạn này $ \Leftrightarrow f(x) = f'(x) \Leftrightarrow f(x) = e^{x + C} $.Đạo hàm hai vế của (1) theo ẩn x, ta có:
$2f(x).f'(x) = f^2 (x) + f'^2 (x) \Leftrightarrow \left[ {f(x) - f'(x)} \right]^2 = 0 $
$ \Leftrightarrow f(x) = f'(x) \Leftrightarrow f(x) = e^{x + C} $
Thay vào (1), ta có:$e^{2x + 2C} = 2\int\limits_0^x {e^{2t + 2C} dt} + 2011 $
$ \Leftrightarrow e^{2x + 2C} = e^{2x + 2C} - e^{2C} + 2011 $
$ \Leftrightarrow 2C = \ln 2011 \Leftrightarrow C = \ln \sqrt {2011} $
Vậy:$f(x) = e^{x + \ln \sqrt {2011} } = \sqrt {2011} .e^x $
#4
Đã gửi 31-08-2011 - 16:10
Cảm ơn lời giải của anh E. Galois nhưng anh kiểm tra lại từ đoạn này $ \Leftrightarrow f(x) = f'(x) \Leftrightarrow f(x) = e^{x + C} $.
OK,mình đã sửa, xin bạn chỉ giáo thêm
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#5
Đã gửi 31-08-2011 - 16:22
Xin lỗi anh E. Galois bài của anh vẫn chưa đúng. Em không dám đâu. Phải sửa lại thế này mới đúng anh ạ: $f\left( x \right) = f'\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = C{e^x}$.OK,mình đã sửa, xin bạn chỉ giáo thêm
#6
Đã gửi 31-08-2011 - 16:58
Xin lỗi anh E. Galois bài của anh vẫn chưa đúng. Em không dám đâu. Phải sửa lại thế này mới đúng anh ạ: $f\left( x \right) = f'\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = C{e^x}$.
Hì hì, $ e^{x+C} = e^C.e^x = C'e^x $, hình như hai kết quả là 1
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#7
Đã gửi 31-08-2011 - 17:16
Đúng là một nhưng chọn hàm f (x) theo cách của anh sẽ bị thiếu nghiệm của bài toán. Bài toán có 2 nghiệm.Hì hì, $ e^{x+C} = e^C.e^x = C'e^x $, hình như hai kết quả là 1
#8
Đã gửi 31-08-2011 - 19:38
Đúng là một nhưng chọn hàm f (x) theo cách của anh sẽ bị thiếu nghiệm của bài toán. Bài toán có 2 nghiệm.
Ừ nhỉ C của mình luôn dương.
Cảm ơn bạn, đúng là mình đã già rùi
Mình đã sửa lại
Đạo hàm hai vế của (1) theo ẩn x, ta có:Tìm hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R sao cho ${f^2}\left( x \right) = \int\limits_0^x {\left( {{f^2}\left( t \right) + {{f'}^2}\left( t \right)} \right)} dt + 2011$ (1)
$2f(x).f'(x) = f^2 (x) + f'^2 (x) \Leftrightarrow \left[ {f(x) - f'(x)} \right]^2 = 0 $
$ \Leftrightarrow f(x) = f'(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = Ce^x \\ f(x) = 0 \\ \end{array} \right. $
Dễ thấy f(x) = 0 không phải là nghiệm của (1).
Thay $ f(x) = Ce^x$ vào (1), ta có:
$C^2e^{2x} = 2C^2 \int\limits_0^x e^{2t} dt} + 2011 $
$ \Leftrightarrow C^2e^{2x} = C^2e^{2x} - C^2 + 2011 $
$ \Leftrightarrow C^2 = 2011 \Leftrightarrow C = \pm \sqrt {2011} $
Vậy:
$f(x) = \pm \sqrt {2011} e^x $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 31-08-2011 - 19:43
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#9
Đã gửi 01-09-2011 - 10:23
Đạo hàm hai vế của (1) theo ẩn x, ta có:
$2f(x).f'(x) = f^2 (x) + f'^2 (x) \Leftrightarrow \left[ {f(x) - f'(x)} \right]^2 = 0 $
$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = f'\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = C{e^x}\,\,\,\,\,(2)$
Từ (1) $ \Rightarrow {f^2}\left( 0 \right) = 2011 \Rightarrow f\left( 0 \right) = \pm \sqrt {2011} $
Cho $x = 0;\,\,\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = C = \pm \sqrt {2011} $
Vậy $f\left( x \right) = \pm \sqrt {2011} {e^x}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh