Chủ đề này có 3 trả lời

[cool hunter]

Cho phương trình: $x^2 -2(m+4)x +m² -8 =0$ (4)
a, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn:

$B= x_1^2 + x_2^2 -x_1.x_2$ đạt GTNN.

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm $ x_1, x_2$ không phụ thuộc vào m.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 01-09-2011 - 10:57

[Crystal]

Cho phương trình: x² -2(m+4)x +m² -8 =0 (4)
a, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm (x1), (x2) thỏa mãn: B= (x1)² +(x2)² -(x1).(x2) đạt GTNN.
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm (x1), (x2) ko phụ thuộc vào m.

Giải:

a) Phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 4} \right)^2} - \left( {{m^2} - 8} \right) > 0$

$ \Leftrightarrow 8m + 24 > 0 \Leftrightarrow m > - 3$

Khi đó, theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 8\end{array} \right.$

Do đó: $B = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 4{\left( {m + 4} \right)^2} - 3\left( {{m^2} - 8} \right)$

$ = {m^2} + 32m + 88 = {\left( {m + 16} \right)^2} - 168 \ge - 168$

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow m = - 16$ không thỏa mãn điều kiện.

[Cao Xuân Huy]

Cho phương trình: x² -2(m+4)x +m² -8 =0 (4)
a, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm (x1), (x2) thỏa mãn: B= (x1)² +(x2)² -(x1).(x2) đạt GTNN.
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm (x1), (x2) ko phụ thuộc vào m.

Mình làm câu b này.
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì m>-3 (như bạn xunist đã làm ở câu a).
Theo định lí Viét ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = \dfrac{{ - b}}{a} = 2(m + 4) \\ x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = m^2 - 8 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x_1 + x_2 )^2 = 4(m + 4)^2 = 4m^2 + 32m + 64 \\ 4x_1 x_2 = 4m^2 - 32 \\ \end{array} \right.$
Trừ theo vế 2 phương trình ta có:
$(x_1 + x_2 )^2 - 4x_1 x_2 = 32m + 96 \Leftrightarrow (x_1 - x_2 )^2 = 32(m + 4) - 32$
Ta cũng có:
$x_1 + x_2 = 2(m + 4) \Rightarrow 16(x_1 + x_2 ) = 32(m + 4)$
Trừ (*) và theo vế ta có:
$16(x_1 + x_2 ) - (x_1 - x_2 )^2 = 32(m + 4) - 32(m + 4) + 32 = 32$
Đây là hệ thức cần tìm

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cho phương trình: $x^2 -2(m+4)x +m² -8 =0$ (4)
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm $ x_1, x_2$ không phụ thuộc vào m.

Giải

Cách 2:
Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm: $m > -3$
Theo hệ thức Viets, ta có:
$\left\{\begin{array}{l}x_1 + x_2 = 2( m + 4 )\\x_1.x_2= m^2 - 8\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m = \dfrac{x_1 + x_2 - 8}{2}\\m^2 = x_1x_2 + 8\end{array}\right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra:

$m^2 = \dfrac{( x_1 + x_2 - 8)^2}{4} $

Lại có theo phương trình thứ hai:

$m^2 = x_1x_2 + 8$

Do đó: $ \dfrac{( x_1 + x_2 - 8)^2}{4} = x_1x_2 + 8$

$\Leftrightarrow ( x_1 + x_2 - 8)^2 = 4x_1x_2 + 32$

$\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 64 + 2x_1x_2 - 16x_1 - 16x_2 = 4x_1x_2 + 32$

$\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 32 = 2x_1x_2 + 16x_1 + 16x_2$

Đây là hệ thức cần tìm.