Bài 8: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int_{1}^{e}\frac{(lnx)^{2009}}{x^{2}}dx>\frac{1}{2010.2011.2012}}$$
Nếu vậy chỉ còn mong anh Thành post lời giải thôi BUồn quá,giải sai rồi
$\mathbf{\text{Lời giải:}}$
Trước hết ta chứng minh: $$\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}}}{{{x^2}}}dx} > \frac{1}{{2011.2012}}$$
Thật vậy, đặt $t = \ln x$, khi đó $$\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {{t^{2010}}{e^{ - t}}dt > \int\limits_0^1 {{t^{2010}}\left( {1 - t} \right)dt = \frac{1}{{2011.2012}}} } $$
Mặt khác: $$\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}}}{{{x^2}}}dx = \int\limits_1^e {{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}d\left( { - \frac{1}{x}} \right) = \left. {\left[ { - \frac{1}{x}{{\left( {\ln x} \right)}^{2010}}} \right]} \right|} } _1^e + \int\limits_1^e {\frac{1}{x}2010{{\left( {\ln x} \right)}^{2009}}\frac{1}{x}dx} $$
$$ = - \frac{1}{e} + 2010\int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2009}}}}{{{x^2}}}dx > \frac{1}{{2011.2012}}} $$
Do đó: $$ \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^{2009}}}}{{{x^2}}}dx > \frac{1}{{2010.2011.2012}}} + \frac{1}{{2010e}} > \frac{1}{{2010.2011.2012}}\,\,\text{(đpcm)}$$