Giờ mới kiếm ra cái topic vui thế này
Trước giờ ít khi vô forum Đại Học ;P
Bài 6 (ĐHQG HN KA-96):
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{2+x+x^{2}}< \dfrac{\Pi }{8}$
Bài này quả thật không khó
Để ý rằng $x \ge x^2;\forall x \in [0;1]$,suy ra:$\frac{1}{2+x+x^2} \le \frac{1}{2(1+x^2)}$
Vậy:
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{2+x+x^2} \le \int_{0}^{1}\frac{dx}{2(1+x^2)}=\frac{1}{2}\arctan{x}\Big|_{0}^{1}=\frac{\pi}{8}$$
Thêm bài này đơn giản, mọi người ủng hộ nhé (các bạn THPT có thể tham gia)
Bài 7: Chứng minh rằng: $$\int\limits_0^1 {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + x\sin x}}dx < 1 - \ln 2} $$
Viết lại BĐT cần chứng minh dưới dạng sau:
$$\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+x\sin{x}} \right)dx <1-\ln 2$$
Hay:
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x\sin{x}} >\ln 2$$
Sử dụng 1 kết quả quen thuộc sau:
$$\sin{x}<x;\forall x>0$$
Suy ra:
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x\sin{x}} >\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^2}=\arctan{x}\Big|_{0}^{1}=\frac{\pi}{4}>\ln 2$$
Bài 8: Chứng minh rằng: $$\mathbf{\int_{1}^{e}\frac{(lnx)^{2009}}{x^{2}}dx>\frac{1}{2010.2011.2012}}$$
Còn bài này tính hơi phê
Sử dụng 1 BĐT hiển nhiên sau:
$$\ln {x} >1-\frac{1}{x};\forall x>0$$
Suy ra:
$$\int_{1}^{e}\frac{\ln {x}^{2009}}{x^2}dx >\int_{1}^{e}\frac{\left(1-\frac{1}{x} \right)^{2009}}{x^2}dx$$
Đặt $$I=\int_{1}^{e}\frac{\left(1-\frac{1}{x} \right)^{2009}}{x^2}dx$$
Đỗi biến $t=\frac{1}{x} \rightarrow dt=\frac{-dx}{x^2}$
$x=1 \rightarrow t=1$
$x=e \rightarrow t=\frac{1}{e}$
Suy ra:
$$I=-\int_{1}^{\frac{1}{e}}(1-t)^{2009}dt=\frac{(1-t)^{2010}}{2010}\Big|_{1}^{\frac{1}{e}}=\frac{\left(1-\frac{1}{e} \right)^{2010}}{2010}>\frac{1}{2010.2011.2012}$$
Có vẻ như bài 8 em làm sai rồi,anh Thành kiểm lại giùm em nhé
Ủng hộ bài mới:
Bài 9: Chứng minh:
$$\frac{\pi}{6} \le \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2-x^3}} \le \frac{\pi \sqrt{2}}{8}$$
Bài này có thể
tổng quát được
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-01-2012 - 19:20