125 replies to this topic

[Scientists]

Xét hàm $f(x)=x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-6x+5$
Có $f'(x)=3x^{2}-3x-6$ với $x\in \left ( -2,0 \right )$
$f'(x)=0$ khi $x=-1$ (thỏa mãn) hoặc $x=2$ (loại)
Vẽ bản biến thiên có
$Min\sqrt{f(x)}=\sqrt{3}$ khi x=-2 ( không xảy ra dấu =)
$Max\sqrt{f(x)}=\frac{\sqrt{34}}{2}$ khi x=-1
Khi đó: $\int_{-2}^{0}dx\sqrt{3}< \int_{-2}^{0}\sqrt{x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-6x+5}dx\leq \int_{-2}^{0}\frac{\sqrt{34}}{2}dx$
$\Rightarrow đ.p.c.m$
P/s: Cho em hỏi tại sao ở bđt thứ 2 lại không xảy ra dấu "="???

[hxthanh]

Tích phân em lấy trên cả một khoảng [-2,0] trong đó chỉ có duy nhất một điểm có cùng tung độ. Vậy làm sao có dấu bằng được!
Thực ra chứng minh điều này cần phải dùng đến định lý Rolle-Lagrange.
Tuy nhiên bằng đồ thị em dễ dàng nhận ra điều này!

[viet 1846]

Bài 17: Cho hàm $f$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
f \in C\left[ {0;1} \right]\\
xf\left( y \right) + yf\left( x \right) \le 1\,\,\forall x;y \in \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.$ Chứng minh:

\[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx \le \frac{\pi }{4}\]

Edited by phudinhgioihan, 07-01-2013 - 22:30.

[phudinhgioihan]

Cho hàm $f$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
f \in C\left[ {0;1} \right]\\
xf\left( y \right) + yf\left( x \right) \le 1\,\,\forall x;y \in \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.$ Chứng minh:

\[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx \le \frac{\pi }{4}\]

Cái giả thiết $\forall x,y \in (0;1) $ và cái chặn trên đặc biệt nên buộc phải nghĩ đến tích phân dính tới lượng giác .

Chọn $y=\sqrt{1-x^2} $
$$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}f(\sqrt{1-x^2})+f(x) \le \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

$$\Rightarrow \int_{0}^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}f(\sqrt{1-x^2}) .dx+\int_{0}^1 f(x).dx \le \int_{0}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.dx $$
$$\Rightarrow - \int_{0}^1 f( \sqrt{1-x^2}).d(\sqrt{1-x^2}) +\int_{0}^1 f(x).dx \le \frac{\pi}{2} $$
$$\Leftrightarrow \int_{0}^1 f(x).dx+\int_{0}^1 f(x).dx \le \frac{\pi}{2} $$

[vo van duc]

Phải đánh số thứ tự cho dễ quản lý các bạn ơi!
...................................
Bài 18: Cho f là một hàm số thực nhận giá trị dương và tuần hoàn với chu kỳ bằng 1 trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng: Với mọi $n=1,2,3,...$ ta luôn có

$\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx\geqslant 1$

Edited by vo van duc, 07-01-2013 - 21:42.

[phudinhgioihan]

Phải đánh số thứ tự cho dễ quản lý các bạn ơi!
...................................
Bài 18: Cho f là một hàm số thực nhận giá trị dương và tuần hoàn với chu kỳ bằng 1 trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng: Với mọi $n=1,2,3,...$ ta luôn có

$\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx\geqslant 1$

$$\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx=\int_0^{\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})} dx+...+\int_{\frac{n-1}{n}}^1 \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx $$

$$=\sum_{i=0}^{n-1} \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx$$

Xét $\int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx $

Đổi biến $x=t+\dfrac{i}{n}$

$$\Rightarrow \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx=\int_0^{\frac{1}{n}} \dfrac{f(x+\frac{i}{n})}{f(x+\frac{i+1}{n})} dx $$

Do đó : $$\sum_{i=0}^{n-1} \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} \frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{n})}dx=\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^{\frac{1}{n}} \dfrac{f(x+\frac{i}{n})}{f(x+\frac{i+1}{n})} dx$$

$$=\int_0^{\frac{1}{n}} (\sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{f(x+\frac{i}{n})}{f(x+\frac{i+1}{n})})dx $$

$$ \ge \int_0^{\frac{1}{n}}n \sqrt[n]{\dfrac{f(x)}{f(x+n)}}dx =\int_0^{\frac{1}{n}} n \sqrt{\dfrac{f(x)}{f(x)}}dx=1 $$

[Ispectorgadget]

Bài 19: Chứng minh rằng $$\int_1^{\sqrt{3}}\frac{e^{-x}\sin x}{x^2+1}dx\le \frac{\pi}{12e}$$

[phudinhgioihan]

Bài 20: (Mới chế )

Cho $f : [0;2] \longrightarrow \mathbb{R} $ , $f'$ liên tục trên $[0;2]$ đồng thời $f(2)=0 \;\;, \int_0^2 f(x)dx=\int_0^2 xf(x)dx =k $

Chứng minh : $$\int_0^2 [f'(x)]^2 dx \ge \dfrac{15}{16}k^2$$

Edited by phudinhgioihan, 07-01-2013 - 23:33.

[phudinhgioihan]

Bài 21: (Troesch)

Cho hàm thực $h$ lõm, dương có đạo hàm liên tục trên $[0;1] \;\;, h'(0) \ge 0$ . Hàm thực $f$ có $f(0)=0$ và $f'$ liên tục trên $[0;1]$ , chứng minh:

$$\dfrac{\int_0^1h(x)[f'(x)]^2dx}{\int_0^1h(x)dx \int_0^1 [f(x)]^2dx} \ge \dfrac{\pi^2}{4}$$


P/s: Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $h$ là hàm hằng, $f(x)=a \sin(\dfrac{\pi x}{2})$

Một trường hợp riêng, chọn $h$ là hàm hằng dương, khi đó ta có:

$$\int_0^1 [f'(x)]^2 dx \ge \dfrac{\pi^2}{4} \int_0^1 [f(x)]^2dx$$

Edited by phudinhgioihan, 08-01-2013 - 18:13.

[phudinhgioihan]

Bài 22: Quá đẹp ^^

Cho $n \in \mathbb{N}^*$ ,chứng minh:

$$\sqrt{n} \dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\le \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx \le \dfrac{\pi}{2}\sqrt{n} \dfrac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}$$

Hơi khó nên gợi ý : $\int_0^1 (1-x^2)^n = \dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$

[phudinhgioihan]

Không biết đúng không sai anh chỉ em với.

Ta có:


Theo BDT $Cauchy-Schwarz$


\[\begin{array}{l}{\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)f'\left( x \right)dx} } \right)^2} \le {\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)dx} } \right)^2}{\left( {\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} } \right)^2} = {k^2}{\left( {\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} } \right)^2}\\
\le 2{k^2}\int\limits_0^2 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx}
\end{array}\]

Dòng này : $${\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)f'\left( x \right)dx} } \right)^2} \le {\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)dx} } \right)^2}{\left( {\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} } \right)^2}$$

Sai rồi em! Đâu có phải C-S đâu. Ráng giải đi, mai thi xong anh post lời giải

[viet 1846]

Dòng này : $${\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)f'\left( x \right)dx} } \right)^2} \le {\left( {\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)dx} } \right)^2}{\left( {\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} } \right)^2}$$

Sai rồi em! Đâu có phải C-S đâu. Ráng giải đi, mai thi xong anh post lời giải

Chết không để ý.

[phudinhgioihan]

Bài 20: (Mới chế )

Cho $f : [0;2] \longrightarrow \mathbb{R} $ , $f'$ liên tục trên $[0;2]$ đồng thời $f(2)=0 \;\;, \int_0^2 f(x)dx=\int_0^2 xf(x)dx =k $

Chứng minh : $$\int_0^2 [f'(x)]^2 dx \ge \dfrac{15}{16}k^2$$

Rắc....tự sướng

Ta có :

$$\int_0^2f(x)dx=xf(x) |_0^2-\int_0^2xf'(x)dx=-\int_0^2 xf'(x)dx$$

$$\int_0^2 xf(x)dx=\frac{1}{2}x^2f(x) |_0^2-\dfrac{1}{2} \int_0^2 x^2f'(x) dx =-\dfrac{1}{2}\int_0^2 x^2f'(x)dx$$

$$\Rightarrow k=\int_0^2f'(x) (x-x^2)dx$$

$$\Rightarrow k^2 \le \int_0^2 (x-x^2)^2dx \int_0^2 [f'(x)]^2 dx$$

$$\Leftrightarrow k^2 \le \dfrac{16}{15}\int_0^2 [f'(x)]^2dx$$

[tramyvodoi]

Bài $23$ :
Cho $\text{f(x)}$ là hàm số xác định và liên tục trên $\left [ 0, 1 \right ]$ và $\left | \text{f(x)} \right | \leqslant 1$ $,$ $\forall x \in \left [ 0, 1 \right ]$.
Chứng minh rằng :
$\int_{0}^{1}\sqrt{1 - \text{f}^{2}\text{(x)}} \text{dx} \leqslant \sqrt{1 - \left ( \int_{0}^{1} \text{f(x)dx} \right )^{2}}$.

[Ispectorgadget]

Bài 24: Cho $f$ là hàm liên tục, có đạo hàm $f'$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và $f(0)=0$. Chứng minh rằng $$\int_0^1|f'(x)f(x)|dx\le \frac{1}{2}\int_0^1|f'(x)|^2dx$$

[phudinhgioihan]

Bài $23$ :
Cho $\text{f(x)}$ là hàm số xác định và liên tục trên $\left [ 0, 1 \right ]$ và $\left | \text{f(x)} \right | \leqslant 1$ $,$ $\forall x \in \left [ 0, 1 \right ]$.
Chứng minh rằng :
$\int_{0}^{1}\sqrt{1 - \text{f}^{2}\text{(x)}} \text{dx} \leqslant \sqrt{1 - \left ( \int_{0}^{1} \text{f(x)dx} \right )^{2}}$.

Bận mấy bữa để bài này lên men mốc hết rồi

Bdt tương đương với

$$\left(\int_0^1 \sqrt{1-f^2(x)}dx \right)^2 +\left(\int_0^1 f(x)dx\right)^2 \le1 $$

$$LHS \underset{C-S}{\le} \int_0^1 dx \int_0^1 (1-f^2 (x) )dx + \int_0^1 dx \int_0^1 f^2(x)dx =\int_0^1dx =1 $$

Vậy có đpcm.

Edited by phudinhgioihan, 27-01-2013 - 02:35.

[phudinhgioihan]

Bài 24: Cho $f$ là hàm liên tục, có đạo hàm $f'$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và $f(0)=0$. Chứng minh rằng $$\int_0^1|f'(x)f(x)|dx\le \frac{1}{2}\int_0^1|f'(x)|^2dx$$

Buổi sáng tại ShiSha café

Ta có:

$$\int_0^1 |f'(x)f(x)|dx =\int_0^1 |f'(x)| \left| \int_0^x f'(t)dt \right| dx $$

$$ \le \int_0^1 |f'(x)| \int_0^x |f'(t)|dt dx $$

$$\le \int_0^1 |f'(x)| \sqrt{\int_0^x dt \int_0^x f'^2(t)dt } dx $$

$$ \le \int_0^1 \sqrt{x} |f'(x)| \sqrt{\int_0^x f'^2(t)dt}dx $$

$$\le \sqrt{\int_0^1 xdx \int_0^1 f'^2(x) \int_0^x f'^2(t)dt dx}$$

$$\le \sqrt{\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{2} \left[\left(\int_0^x f'^2(t)dt \right)^2 \right]' dx}$$

$$ \le \frac{1}{2} \int_0^1 f'^2(x)dx$$

[Ispectorgadget]

Bài 19: Chứng minh rằng $$\int_1^{\sqrt{3}}\frac{e^{-x}\sin x}{x^2+1}dx\le \frac{\pi}{12e}$$

Mới giải được bài này =P~
$$\forall x\in [1;\sqrt{3}] \Rightarrow -x\le -x \Rightarrow e ^{-x}\le \frac{1}{e}$$
$$\Rightarrow \frac{e^{-x}\sin x}{x^2+1}<\frac{1}{e(x^2+1)}\Rightarrow \int_1^{\sqrt{3}}\frac{e^{-x}.\sin x}{x^2+1}<\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{e(x^2+1)}dx$$
Xét $\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{e(x^2+1)}$

Đặt $x=tan t\Rightarrow dx =(tan^2t+1)dt$
Đổi cận $x=1\to t=\frac{\pi}{4};x=\sqrt{3}\to t=\frac{\pi}{3}$
Do đó $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{(tan^2t+1)dt}{e(tan^2t+1)}=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dt}{e}=\frac{\pi}{12}$$
Vậy ta có đpcm.

Bài 25 :Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn:

i) $f(0)=f(1)=0$

ii) $\int_0^1 |f'(x)|dx=1$
Chứng minh rằng $|f(x)|\le \frac{1}{2}$ với mọi $x$ thuộc đoạn $[0;1]$

Edited by Ispectorgadget, 27-01-2013 - 09:11.

[tramyvodoi]

Bài 26:
Cho $\text{f(x)}$ là hàm số liên tục cùng đạo hàm của nó trên đoạn $\text{[a,b]}$ và $\text{f(a) = 0}$. Đặt $\text{M} = \max_{\text{a} \leqslant \text{x} \leqslant \text{b}}\left | \text{f(x)} \right |$.
Chứng minh rằng :
$\text{M}^{2} \leqslant (\text{b} - \text{a})\int_{\text{a}}^{\text{b}}\text{f'}^{2}(\text{x})\text{dx}$.

Edited by Ispectorgadget, 27-01-2013 - 10:53.

[phudinhgioihan]

Bài 25 :Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn:

i) $f(0)=f(1)=0$

ii) $\int_0^1 |f'(x)|dx=1$
Chứng minh rằng $|f(x)|\le \frac{1}{2}$ với mọi $x$ thuộc đoạn $[0;1]$

Làm xong rồi cất gối về quê


$$\forall x \in [0;\dfrac{1}{2}] \;, |f(x)|= \left| \int_0^x f'(t)dt \right| $$

$$ \le \int_0^x |f'(t)|dt \le \int_0^{\frac{1}{2}} |f'(t)|dt$$


$$\forall x \in [\dfrac{1}{2};1] \;, |f(x)|= \left| \int_{x}^1 f'(t)dt \right| $$

$$ \le \int_x^1 |f'(t)| dt \le \int_{\frac{1}{2}}^1 |f'(t)|dt$$

Suy ra $$ |f(x)| \le \dfrac{1}{2} \left(\int_0^{\frac{1}{2}} |f'(t)|dt+ \int_{\frac{1}{2}}^1 |f'(t)|dt \right)=\frac{1}{2}\int_0^1 |f'(t)dt=\frac{1}{2}$$

Edited by phudinhgioihan, 27-01-2013 - 19:20.