Chủ đề này có 5 trả lời

[Chung Mê Toán]

Với $a,b,c > 0$ thỏa $a^2 + 2b^2 + 3c^2 = 1$. Tìm GTNN của $P = 2a^3 + 3b^3 + 4c^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Mê Toán: 11-09-2011 - 11:35

[taitwkj3u]

Với a,b,c thỏa $a^2 + 2b^2 + 3c^2 = 1$. Tìm GTNN của $P = 2a^3 + 3b^3 + 4c^3$

de khong cho la a,b,c co >0 khong ha

[Chung Mê Toán]

de khong cho la a,b,c co >0 khong ha

Xin lối. a,b,c >0. Mình đã sửa

[perfectstrong]

Bài này mà AM-GM thì hơi khó thấy. Sử dụng C-S nó dễ thấy hơn.
Giải:
$$(2a^3 + 3b^3 + 4c^3 )\left( {\dfrac{1}{2}a + \dfrac{4}{3}b + \dfrac{9}{4}c} \right)$$

$$ \geqslant \left( {\sqrt {2.\dfrac{1}{2}} a + \sqrt {3.\dfrac{4}{3}} b + \sqrt {4.\dfrac{9}{4}} c} \right)^2 = 1$$

$$\Rightarrow P \ge \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}a+\dfrac{4}{3}b+\dfrac{9}{4}c}(1)$$

Lại có:
$$\left( {\dfrac{1}{2}a + \dfrac{4}{3}b + \dfrac{9}{4}c} \right)^2 $$

$$ \leqslant (a^2 + 2b^2 + 3c^2 )\left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{{27}}{{16}}} \right) = \dfrac{{407}}{{144}}$$

$$\Rightarrow \dfrac{1}{2}a+\dfrac{4}{3}b+\dfrac{9}{4}c \le \dfrac{\sqrt{407}}{12}$$

$$(1) \Rightarrow P \ge \dfrac{12}{\sqrt{407}}$$

$$\Rightarrow \min P=\dfrac{12}{\sqrt{407}}$$

$$ \Leftrightarrow \left( {a;b;c} \right) = \left( {\dfrac{6}{{\sqrt {407} }};\dfrac{8}{{\sqrt {407} }};\dfrac{9}{{\sqrt {407} }}} \right)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-09-2011 - 20:20

[taminhhoang10a1]

bài này hình như khi diễn đàn chưa nâng cấp mình đã giải rồi mà

[Nguyễn Hữu Huy]

Bài này mà AM-GM thì hơi khó thấy. Sử dụng C-S nó dễ thấy hơn.
Giải:
$$(2a^3 + 3b^3 + 4c^3 )\left( {\dfrac{1}{2}a + \dfrac{4}{3}b + \dfrac{9}{4}c} \right)$$

$$ \geqslant \left( {\sqrt {2.\dfrac{1}{2}} a + \sqrt {3.\dfrac{4}{3}} b + \sqrt {4.\dfrac{9}{4}} c} \right)^2 = 1$$

$$\Rightarrow P \ge \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}a+\dfrac{4}{3}b+\dfrac{9}{4}c}(1)$$

Lại có:
$$\left( {\dfrac{1}{2}a + \dfrac{4}{3}b + \dfrac{9}{4}c} \right)^2 $$

$$ \leqslant (a^2 + 2b^2 + 3c^2 )\left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{{27}}{{16}}} \right) = \dfrac{{407}}{{144}}$$

$$\Rightarrow \dfrac{1}{2}a+\dfrac{4}{3}b+\dfrac{9}{4}c \le \dfrac{\sqrt{407}}{12}$$

$$(1) \Rightarrow P \ge \dfrac{12}{\sqrt{407}}$$

$$\Rightarrow \min P=\dfrac{12}{\sqrt{407}}$$

$$ \Leftrightarrow \left( {a;b;c} \right) = \left( {\dfrac{6}{{\sqrt {407} }};\dfrac{8}{{\sqrt {407} }};\dfrac{9}{{\sqrt {407} }}} \right)$$

Holder !

\[
VT^2 \leqslant \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{{27}}{{16}}} \right)(a^2 + 2b^2 + 3c^2 )^2
\]


\[
\Rightarrow VT^2 \leqslant \dfrac{1}{{\dfrac{1}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{{27}}{{16}}}}
\]

$$\Rightarrow \Min VT$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-09-2011 - 11:54