Chủ đề này có 7 trả lời

[hotgirlo0o]

cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$
CMR:
$$\dfrac{b}{a^2} + \dfrac{c}{a^2} + \dfrac{a}{c^2} \ge 3(\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2})$$
khó quá giúp tớ với (





nhưng mà anh ơi nếu là bài toán trong đường link đó thì lại phải CM a^2+b^2+c^2>=3(a^2+b^2+c^2) nhưng mà khi nhân VT BDT này với a+b+c rồi áp dụng cauchy sao em CM mãi mà ko đc BDT này, anh giúp em luôn đi, BDT này cm như nào hả anh


Mod: bạn vui lòng xem cách gõ công thức mới của diễn đàn ở đây
http://diendantoanhoc.net/index.php?showtopic=63178

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 02-10-2011 - 19:45

[dark templar]

Viết lại giả thuyết dưới dạng sau:$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$.
Bài của em nếu thay bộ $(a;b;c)$ bằng bộ $\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c} \right)$ thì sẽ trở thành bài toán trong đường link:
http://diendantoanho...showtopic=63408

[tuithichtoan]

cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc
CMR: b/a^2 + c/a^2 + a/c^2 >= 3(1/a^2 + 1/b + 1/c^2)
khó quá giúp tớ với (

Không làm mất tính tổng quát
Giả sử:$a\geq b\geq c$
AD BDT Chebyshev có:
$\dfrac{b}{a^{2}}+\dfrac{c}{c^{2}}+\dfrac{a}{b^{2}}\geq \dfrac{1}{3}.(\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}).(a+b+c)\geq (\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}).\sqrt[3]{abc}$
lại có:
$ab+bc+ca\geq 3.\sqrt[3]{(abc)^{2}}\Leftrightarrow abc\geq 3.\sqrt[3]{(abc)^{2}}
\Leftrightarrow abc\geq 27$
Thay lên trên, có DPCM
Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 02-10-2011 - 10:47

[dark templar]

Không làm mất tính tổng quát
Giả sử:$a\geq b\geq c$
AD BDT Chebyshev có:
$\dfrac{b}{a^{2}}+\dfrac{c}{c^{2}}+\dfrac{a}{b^{2}}\geq \dfrac{1}{3}.(\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}).(a+b+c)\geq (\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}).\sqrt[3]{abc}$
lại có:
$ab+bc+ca\geq 3.\sqrt[3]{(abc)^{2}}\Leftrightarrow abc\geq 3.\sqrt[3]{(abc)^{2}}
\Leftrightarrow abc\geq 27$
Thay lên trên, có DPCM
Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c=3

Bài này là hoán vị,chứ không phải đối xứng,nên nếu đã giả sử $a \ge b \ge c$ thì phải giải luôn cả trong trường hợp $c \ge b \ge a$

[hotgirlo0o]

sao anh chứng minh hộ em BĐT a^2+b^2+c^2>=3(a2b+b2c+c2a) luôn đi, thks anh

[tuithichtoan]

sao anh chứng minh hộ em BĐT a^2+b^2+c^2>=3(a2b+b2c+c2a) luôn đi, thks anh

bạn viết rõ đề đi

[hotgirlo0o]

cho a+b+c=1 ,a,b,c>0
cmr: $$a^2+b^2+c^2\ge 3(a^2b+b^2c+c^2a)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 02-10-2011 - 19:45

[phuonganh_lms]

Mình lấy gt của bài đó rồi bạn tự thay lại biến nha.
Nhân VT với $ a+b+c$ ( do $a+b+c=1$)
Ta có: $VT=(a^3+a^2b+ab^2) + (b^3+b^2c+c^2b)+(c^3+a^2c+c^2a)$
Áp dụng cauchy cho từng bộ 3 số đó ta có dpcm