Chủ đề này có 4 trả lời

[vietnam102]

Bài 1: Cho 2011 số thực dương $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{2011}$. Chứng minh rằng :


$\sqrt{\dfrac{a_{1}^{2}}{a_{2}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{a_{3}}+...+\dfrac{a_{2010}^{2}}{a_{2011}}+\dfrac{a_{2011}^{2}}{a_{1}}} \geq \dfrac{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+...+\sqrt
{a_{2011}}}{\sqrt{2011}}$

Bài 2 :Tìm GTLN ,GTNN của biểu thức $y =3\sqrt{x-1} +4\sqrt{5-x} với 1\leq x\leq 5 $

MoD: Bạn chỉ nên đặt thẻ công thức ở công thức thôi nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 15-10-2011 - 20:29

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Bài 1:
$VT \overset{Cauchy-Schwarz}{\geq}\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{2011}a_{i}^2}{\sum_{i=1}^{2011}a_{i}}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{2011}a_{i}}$
$VP^2 \overset{Cauchy-Schwarz}{\leq} \dfrac{1}{2011}.2011.\sum_{i=1}^{2011}a_{i}=\sum_{i=1}^{2011}a_{i}$
$\Rightarrow VP \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{2011}a_{i}}$
$\Rightarrow VT \ge VP $ $(Q.E.D)$

Bài 2 :
$y^2 \overset{Cauchy-Schwarz}{\leq} (9+16)(x-1+5-x)=100$
$\Rightarrow y \le 10 $ (do y >0)
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=\dfrac{61}{25}$
$y^2 = 9(x-1)+16(5-x)+24\sqrt{(x-1)(5-x)}=36+7(5-x)+24\sqrt{(x-1)(5-x)}\ge 36$ (do$ 5-x \ge 0$)
$\Rightarrow y\ge6$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=5 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-10-2011 - 11:05

[Ispectorgadget]

Bài 2 :
$y^2 \overset{Cauchy-Schwarz}{\leq} (9+16)(x-1+5-x)=100$
$\Rightarrow y \le 10 $ (do y >0)
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=\dfrac{61}{25}$
$y^2 = 9(x-1)+16(5-x)+24\sqrt{(x-1)(5-x)}=36+7(5-x)+24\sqrt{(x-1)(5-x)}\ge 36$ (do$ 5-x \ge 0$)
$\Rightarrow y\ge6$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=5 $

B2: Cách khác:
Áp dụng BĐT\[
\sqrt a + \sqrt b \ge \sqrt {a + b}
\]

VT\[
\ge 3\sqrt {x - 1 - x + 5} + \sqrt {5 - x} \ge 6
\]

Dấu bằng xr khi x =5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-10-2011 - 16:53

[HÀ QUỐC ĐẠT]

B2: Cách khác:Áp dụng BĐT\[
\sqrt a + \sqrt b \ge \sqrt {a + b}
\]
Áp dụng ta đượcVT>= 3$\sqrt{x-1+5-x}+\sqrt{5-x}=4+\sqrt{5-x}$
Dau = xra <=> x =5

Bạn bị nhầm 1 chỗ rồi đó

[Ispectorgadget]

Sr ghi nhầm