Chủ đề này có 2 trả lời

[alex_hoang]

Cho $a, b, c >0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$a^2b+b^2c+c^2a \ge \sqrt[2012]{\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}}\left(a+b+c\right)$$

[taminhhoang10a1]

Em xin chứng minh BĐT như sau:
Ta có: $(a^2 b + b^2 c + c^2 a)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \ge (a + b + c)^2 $
Mà abc=1 $ \Rightarrow a^2 b + b^2 c + c^2 a \ge \dfrac{{(a + b + c)^2 }}{{ab + bc + ca}}$ (1)
Lại có abc=1 nên tồn tại x,y,z > 0 sao cho $a = \dfrac{x}{y},b = \dfrac{y}{z},c = \dfrac{z}{x}$
$ \Rightarrow a^2 b + b^2 c + c^2 a = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{{x^2 }}{{yz}} + \dfrac{{y^2 }}{{zx}} + \dfrac{{z^2 }}{{xy}} = \dfrac{{x^3 + y^3 + z^3 }}{{xyz}}$
$\ge \dfrac{{x^2 z + y^2 x + z^2 y}}{{xyz}} = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x} = a + b + c$

$ \Rightarrow a^2 b + b^2 c + c^2 a \ge a + b + c$ (2)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow 2012(a^2 b + a^2 b + a^2 b) \ge 2011(a + b + c) + \dfrac{{(a + b + c)^2 }}{{ab + bc + ca}} = (a + b + c)(2011 + \dfrac{{a + b + c}}{{ab + bc + ca}})$
Theo cô si ta lại có: $2011 + \dfrac{{a + b + c}}{{ab + bc + ca}} \ge 2012\sqrt[{2012}]{{\dfrac{{a + b + c}}{{ab + bc + ca}}}}$ suy ra dpcm
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taminhhoang10a1: 26-10-2011 - 21:39

[Didier]

hay that. minh nghi mai ma k ra

Một bài khác
Cho x,y,z> 0 Chứng minh rằng
$ \dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}\geq 2\sqrt{\dfrac{(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{xyz}}$