Chủ đề này có 4 trả lời

[Để tử Wallunint]

Lớp có thằng bạn đố bài này,em làm ra rồi,nhưng nếu có điều kiện : $a+b+c=3$.Các anh coi thử đề như thế nào:

Cho a,b,c là cạnh của tam giác.Chứng minh:
$1<\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}<2$

[Cao Xuân Huy]

Bạn có thể sử dụng bđt sau: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}$
Bất đẳng thức này có thể dễ dàng chứng minh bằng bđt AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz

Áp dụng thì mình tính ra được:
$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} \ge \dfrac{9}{{2(a + b + c)}} = \dfrac{9}{6} = 1,5$

Trong đề chỉ yêu cầu là: $\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} > 1$

[vietfrog]

Bạn có thể sử dụng bđt sau: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}$
Bất đẳng thức này có thể dễ dàng chứng minh bằng bđt AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz

Áp dụng thì mình tính ra được:
$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} \ge \dfrac{9}{{2(a + b + c)}} = \dfrac{9}{6} = 1,5$

Trong đề chỉ yêu cầu là: $\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} > 1$

*Thực ra với bài BĐT này ở mức THCS cũng không nhất thiết phải sử dụng Cauchy-Schwarz mặc dù nó khá nhanh và chặt.
Có thể dễ dàng có đánh giá sau:
\[\dfrac{1}{{a + b}} > \dfrac{1}{{a + b + c}};\dfrac{1}{{a + c}} > \dfrac{1}{{a + b + c}};\dfrac{1}{{c + b}} > \dfrac{1}{{a + b + c}}\]
Cộng lại có ngay:\[\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} > \dfrac{3}{{a + b + c}} = 1\]
* Vẫn với đánh giá kiểu đó ta có:
\[\dfrac{1}{{a + b}} < \dfrac{2}{{a + b + c}}{\rm{ }}\]

$ \Leftrightarrow a + b + c < 2a + 2b \Leftrightarrow a + b > c$ (đúng với a,b,c là cạnh tam giác)

Tương tự ta cũng xây dựng được:\[\dfrac{1}{{b + c}} < \dfrac{2}{{a + b + c}}{\rm{ }};\dfrac{1}{{a + c}} < \dfrac{2}{{a + b + c}}\]

Cộng lại ta được:

\[{\rm{ }}\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{a + b}} < \dfrac{6}{{a + b + c}} = \dfrac{6}{3} = 2\]

P/s: Kiểu đánh giá này các bạn THCS có thể dễ dàng phát hiện và chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 26-10-2011 - 23:23

[Để tử Wallunint]

Cái <2 thì anh làm nhanh hơn em!Do em đọc 1 cuộc giải các bài này tương tự thì nó lạ lạ sao á! BDT như sau :
$\dfrac{1}{a+b}<\dfrac{1+c}{a+b+c}$ Tương tự sẽ ra!Nhưng em k hiểu kiểu nớ kiểu gì!Khi a,b,c>0 thì $\dfrac{a}{a+b}<\dfrac{a+c}{a+b+c}$
Mấy anh coi giúp em?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 28-10-2011 - 14:49

[iphone4]

Cái <2 thì anh làm nhanh hơn em!Do em đọc 1 cuộc giải các bài này tương tự thì nó lạ lạ sao á! BDT như sau :
$\dfrac{1}{a+b}<\dfrac{1+c}{a+b+c}$ Tương tự sẽ ra!Nhưng em k hiểu kiểu nớ kiểu gì!Khi a,b,c>0 thì $\dfrac{a}{a+b}<\dfrac{a+c}{a+b+c}$
Mấy anh coi giúp em?

cái này bạn chỉ cần quy đồng là ra mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iphone4: 27-10-2011 - 17:04