Chủ đề này có 7 trả lời

[bibobobi97]

Cho a,b,c la 3 cạnh của một tam giác.chứng minh:
$\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}(a+b+c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 08-11-2011 - 09:52
Tiêu đề gây nhiễu

[Ispectorgadget]

$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}(a+b)^2+\dfrac{1}{2}(b-c)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(a+b)$
Cmtt ta có$\sqrt{b^2+c^2}\geq \dfrac{1}{\sqrt{2}}(b+c);\sqrt{a^2+c^2}\geq \dfrac{1}{\sqrt{2}(a+c)}$
Cộng lại ta có VP$\geq 3\sqrt{2}(a+b+c)$ ?????
Cái BĐT này đề có sai không vậy
phải là $\geq 3\sqrt{2}(a+b+c)$ mới đúng chứ
BĐT 2
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$VT\leq \sqrt{3}.\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}$
Ta có: $$a^2+b^2+c^2$< 2(ab+bc+ac)$$
chứng minh:
a< b+c
b<a+c
c<a+b
$a^2< ab+bc;b^2< bc+ab;c^2< ac+bc$
cộng lại ta có Đpcm
=>VT$< \sqrt{2}.\sqrt{4.(ab+bc+ac)}< \sqrt{3}.\sqrt{4.(ab+bc+ac)}\leq 2\sqrt{3}.\sqrt{\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}=2.(a+b+c)$


Híc lời giải mình sai chỗ nào các bạn xem dùm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-11-2011 - 13:07

[hxthanh]

Ta có
$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge \dfrac{a+b}{2}>\dfrac{c}{2}\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}> \sqrt 2c$ (tổng 2 cạnh > cạnh còn lại)
Tương tự với 2 số hạng còn lại rồi cộng lại, ta chứng minh được BĐT thứ nhất.

Mặt khác, cũng vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên ta có:
$|a-b|<c\Rightarrow a^2+b^2-2ab<c^2$ tương tự $b^2+c^2-2bc<a^2$ và $c^2+a^2-2ca<b^2$
Cộng lại ta được bất đẳng thức: $(a^2+b^2+c^2)<2ab+2bc+2ca\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)<(a+b+c)^2$

Áp dụng Cauchy - Schwarz, ta có:
$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le \sqrt{(1+1+1)(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)}<\sqrt{3}(a+b+c)$
----
Hết ạ!

$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UEVOLI: 08-11-2011 - 10:10

[bibobobi97]

đề ko sai đâu a ạ!!!

[CD13]

BĐT thứ hai thì em chứng minh đúng rồi, nhưng BĐT 1 thì có vẻ không ổn chỗ này:

Ta có
$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge \dfrac{a+b}{2}>\dfrac{c}{2}\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}\ge \sqrt 2c$ (tổng 2 cạnh > cạnh còn lại)
Tương tự với 2 số hạng còn lại rồi cộng lại, ta chứng minh được BĐT thứ nhất.

Vậy dấu = xảy ra khi nào? a = b = c?

[hxthanh]

Dạ, em quên mất là không thể xảy ra dấu bằng. :P

[Ispectorgadget]

BĐT thứ hai thì em chứng minh đúng rồi, nhưng BĐT 1 thì có vẻ không ổn chỗ này:


Vậy dấu = xảy ra khi nào? a = b = c?

Anh chứng minh dùm em BĐT 1 được không ạ

[bibobobi97]

bđt (1) la thế này :$(a+b)^{_{2}}\leq 2(a^{2}+b^{2})$ nên $a+b\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$
tương tự ta có : $b+c\leq \sqrt{2(b^{2}+c^{2})}$ và $c+a\leq \sqrt{2(c^{2}+a^{2})}$
suy ra:$2(a+b+b)\leq \sqrt{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{a^{2}+c^{2}})$
$\Rightarrow \sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}$