Chủ đề này có 9 trả lời

[vuhoangdieu]

Tìm nghiệm nguyên cho phương trình
$$x^3-y^3=2xy+8$$

Mod. + Học gõ công thức toán trước khi viết bài.
+ Ghi Tiếng Việt có dấu
+ Tiêu đề cần có cả công thức toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 13-11-2011 - 14:10

[nguyenta98]

Giải:
Ta có:
$$x^3-y^3-2xy=(x-y)(x^2+xy+y^2)-2xy = (x-y)^3+3xy(x-y)-2xy=8$$
$$(x-y)^3+3xy(x-y)-2xy = 8$$
$$(x-y)^3+xy(3x-3y-2) = 8$$
$$(3x-3y)^3+27xy(3x-3y-2)=216$$
$$(3x-3y)^3-8+27xy(3x-3y-2) = 208$$
$$(3x-3y-2)((3x-3y)^2+2(3x-3y)+4)+27xy(3x-3y-2) = 208$$
$$(3x-3y-2)((3x-3y)^2+2(3x-3y)+4+27xy) = 208$$
Đến đây là phương trình ước số, chắc quá dễ với bạn rồi.
Chú ý ở cụm sau cụm $3x-3y-2$ là một phương trình bậc 2 thì rất dễ để tìm nghiệm nguyên.

Mod. Sau khi gõ xong công thức toán thì kẹp
[color=#ff0000]

[/color]
$công thức$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 13-11-2011 - 10:04

[Crystal]

Tìm nghiệm nguyên: ${x^3} - {y^3} = 2xy + 8$

Ta có: $PT \Rightarrow \left| {x - y} \right|\left| {{x^2} + xy + {y^2}} \right| = \left| {xy + 8} \right|$. Dễ thấy $x \ne y$.

Do $x,y$ nguyên nên $\left| {x - y} \right| \geqslant 1 \Rightarrow \left| {{x^2} + xy + {y^2}} \right| \leqslant \left| {xy + 8} \right| \Rightarrow {x^2} + xy + {y^2} \leqslant \left| {xy + 8} \right|\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét hai trường hợp.

$1.\,\,xy + 8 < 0$ khi đó (1) trở thành: ${x^2} + xy + {y^2} \leqslant - xy - 8 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \leqslant - 8$, vô lí.

$2.\,\,xy + 8 \geqslant 0$ khi đó (1) trở thành: ${x^2} + xy + {y^2} \leqslant xy + 8 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \leqslant 8\, \Rightarrow {x^2},{y^2} \in \left\{ {0;1;4} \right\}$

* Nếu $x = 0:\,\,PT \Rightarrow {y^3} = - 8 \Leftrightarrow y = - 2$

* Nếu $y = 0:\,\,PT \Rightarrow {x^3} = -8 \Leftrightarrow x = -2$

* Nếu $x,y \ne 0$ thì ${x^2},{y^2} \in \left\{ {1;4} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{gathered}
\left\{ \begin{gathered}
{x^2} = 1\\
{y^2} = 4 \\
\end{gathered} \right. \\
\left\{ \begin{gathered}
{x^2} = 4 \\
{y^2} = 1 \\
\end{gathered} \right. \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,x \ne y} \right)$.

Trong hai số $x,y$ có một số chẵn, một số lẻ. Khi đó vế trái của phương trình là lẻ, vế phải chẵn nên không xảy ra.

Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là $\left( {x,y} \right) = \left( {0, - 2} \right),\,\,\left( {2,0} \right)$.

[toantoan2]

Chào các bạn, tôi thấy bài này có vấn đề ở ngay dòng đầu tiên, giả thiết là: 2xy+8, chứ ko phải là xy+8, phiền các bạn xem lai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toantoan2: 13-11-2011 - 15:09

[toantoan2]

Bài này có vấn đề ở ngay dòng đầu rồi bạn ơi

[Zaraki]

Bài toán này bạn có thể xem lời giải tại http://www.artofprob...p?f=56&t=257530

[nguyenta98]

Trang web đó làm không đúng đâu vì cô si 3 số chỉ áp dụng được với a,b,c dương. Thay $-8=(-2)^3$ thì có (-2) âm nên không được.

[Zaraki]

Trang web đó làm không đúng đâu vì cô si 3 số chỉ áp dụng được với a,b,c dương. Thay $-8=(-2)^3$ thì có (-2) âm nên không được.

Còn 1 số lời giải khác bên đó nữa mà bạn.

[nguyenta98]

Công nhận cách của họ hay thật nhưng theo mình thấy bài toán nghiệm nguyên dạng này hoàn toàn có thể phân tích nhân tử. Từ đó quy về phương trình ước số. Điều quan trọng nhất của cách làm phương trình nghiệm nguyên là hằng đẳng thức. Các bạn có thể tham khảo sách phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải của Vũ Hữu Bình.
Tổng cộng có hơn 10 cách giải phương trình nghiêm nguyên:
Thí dụ: Phương trình ước số, Phương pháp đánh giá, Phương pháp dùng các bdt cổ điển, phương pháp chặn (dùng tính âm dương), phương pháp chia hết, định lý Viète....

[hypermuteki]

Ta có: x³ + y³ = 2xy + 8

    <=> ( x - y )³ = 2xy - 3xy(x - y) + 8    (1)

 Đặt x - y = a (a nguyên)

           xy = b (b nguyên)                                                        

   khi đó (1) <=> a³ = 2b - 3ab + 8

                  <=> a³ - 8 = b(2 - 3a)

                  <=> b = (a³ - 8)/(2 - 3a)                                                                                                          

 

 Để b nguyên thì a³ - 8 phải chia hết cho 2 - 3a ( 2).

 Mặt khác ta thấy ƯCLN( 27, 2 - 3a) = 1

 nên (2) <=> 27a³ - 216 chia hết cho 2 - 3a

              <=> (27a³ - 18a²) + (18a² - 12a) + (12a - 8) + (12a - 8) -208 chia hết cho  2 - 3a 

              <=> 208 chia hết cho 2 - 3a mà 2 - 3a chia 3 dư 2

                Vậy nên 2 - 3a chỉ có thể là -1;-13;26;-52;104;-208;2;-4;8;-16

Lập bảng ta tìm được các giá trị a, b từ đo đưa về hệ phương trình quen thuộc:

                                  x + y = m

                           xy = n                                                                                                 

 

Chú ý rằng x + y và xy phải cùng chẵn (dễ dàng chứng minh)               

Giải và đối chiếu điều kiện x, y nguyên ta có (x,y) = (2, 0); (0, -2)

 ( với cách trên thì vẫn giải đc bài toán khi thay 2xy bởi xy)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hypermuteki: 02-08-2017 - 21:53