Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-11-2011 - 17:47
Giải phương trình nghiệm tự nhiên $x^{y^{z}}+x^{z^{y}}=2050$
Bắt đầu bởi Zaraki, 21-11-2011 - 17:47
#1
Đã gửi 21-11-2011 - 17:47
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Giải phương trình nghiệm tự nhiên $$\large x^{y^{z}}+x^{z^{y}}=2050$$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 21-11-2011 - 19:03
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Nếu y=0 hoặc z=0 thì dễ xét.
Nếu y và z khác 0
Không mất tổng quát giả sử $y^z>z^y$
Suy ra $x^{z^y}*(x^{y^z-z^y}+1)$=2050
Đến đây là phương trình ước số quá đơn giản rồi
Suy ra $2050$ chia hết cho $x^{z^y}$
Lại có các ước của $2050$ là $1,2,5,25,41,82,205,1025,2050$
Với $x=2050$ dễ xét!
Với $x=1025$ suy ra $z^y=1$ hay $y=z=1$ chọn
Với $x=205$ suy ra $z^y=1$ loại vì khi đó $VT=410$ !
Với $x=82$ suy ra $z^y=1$ cũng loại như th trên
Với $x=41$ suy ra nếu $z^y=1$ thì loại còn $z^y=2$ suy ra $y=1,z=2$ thử lại thấy sai loại.
Với $x=25,5,2,1$ bạn cũng xét tương tự
Nếu y và z khác 0
Không mất tổng quát giả sử $y^z>z^y$
Suy ra $x^{z^y}*(x^{y^z-z^y}+1)$=2050
Đến đây là phương trình ước số quá đơn giản rồi
Suy ra $2050$ chia hết cho $x^{z^y}$
Lại có các ước của $2050$ là $1,2,5,25,41,82,205,1025,2050$
Với $x=2050$ dễ xét!
Với $x=1025$ suy ra $z^y=1$ hay $y=z=1$ chọn
Với $x=205$ suy ra $z^y=1$ loại vì khi đó $VT=410$ !
Với $x=82$ suy ra $z^y=1$ cũng loại như th trên
Với $x=41$ suy ra nếu $z^y=1$ thì loại còn $z^y=2$ suy ra $y=1,z=2$ thử lại thấy sai loại.
Với $x=25,5,2,1$ bạn cũng xét tương tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 21-11-2011 - 19:31
#3
Đã gửi 21-11-2011 - 19:22
Devil25
-
- Thành viên
-
- 35 Bài viết
Binh nhất
Giả sử ko mất tổng quát m=$y^z$>n=$z^y$. Có $x^n$.($x^(m-n)$ +1)=2.$5^2$.41
Xét khi $x^n$ là bội của 41. Khi ấy n=1 vì nếu n=2 thì 2050 chia hết $41^2$. Lúc đó có $z^y$=1.Có 2 khả năng:z=1 thì y=m và ta có x ($x^(y-1)+1)=2050
Do x là bội của 41 nên có $x^(y-1)$ +1 $\leq$ 2050/41=50. Nhận thấy rằng y<3 và y không thể là 2(thay vào vô lý), ta chọn y=1(y phải khác 0). Lúc ấy được y=1 và z=1,x=1025
Xét khi $x^n$ là bội của 5.Khi ấy n=2 do gcd($x^(m-n)$ +1;5)=1. Từ đó có $x^m$=2025, vô lý vì x chia hết cho 3 nhưng 2050 ko chia hết cho 3
Xét khi $x^n$ là bội của 2. Khi ấy n=1 do nếu n $\geq$ 2 thì 2050 chia hết 4, vô lý. Ra được $y^z$=11 và $z^y$=1 như vậy y=11 và z=1. Đồng thời x=2
Xét khi $x^n$ =1. Khi ấy có 2 khả năng là x=1 hoặc n=0. Tuy nhiên $x^{y^z}$=2049 do đó x khác 1 nên x=2049 còn y tùy ý,z=0.
Xét khi $x^n$ là bội của 41. Khi ấy n=1 vì nếu n=2 thì 2050 chia hết $41^2$. Lúc đó có $z^y$=1.Có 2 khả năng:z=1 thì y=m và ta có x ($x^(y-1)+1)=2050
Do x là bội của 41 nên có $x^(y-1)$ +1 $\leq$ 2050/41=50. Nhận thấy rằng y<3 và y không thể là 2(thay vào vô lý), ta chọn y=1(y phải khác 0). Lúc ấy được y=1 và z=1,x=1025
Xét khi $x^n$ là bội của 5.Khi ấy n=2 do gcd($x^(m-n)$ +1;5)=1. Từ đó có $x^m$=2025, vô lý vì x chia hết cho 3 nhưng 2050 ko chia hết cho 3
Xét khi $x^n$ là bội của 2. Khi ấy n=1 do nếu n $\geq$ 2 thì 2050 chia hết 4, vô lý. Ra được $y^z$=11 và $z^y$=1 như vậy y=11 và z=1. Đồng thời x=2
Xét khi $x^n$ =1. Khi ấy có 2 khả năng là x=1 hoặc n=0. Tuy nhiên $x^{y^z}$=2049 do đó x khác 1 nên x=2049 còn y tùy ý,z=0.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
