Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z khác 0 ta luôn có$ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}> \dfrac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Chứng minh $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}> \dfrac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Bắt đầu bởi chit_in, 24-11-2011 - 00:02
#2
Đã gửi 24-11-2011 - 21:06
minhducqhhehe
-
- Thành viên
-
- 28 Bài viết
Binh nhất
áp dụng Bđt Sơ Vác,ta có:
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}\geqslant \dfrac{(x+y+z)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
khi đó ta cần đi chứng minh:
$(x+y+z)^{2}\geqslant 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\Leftrightarrow 2xy+2yz+2xz\geqslant x^{2}+y^{2}+z^{2}$
mà do x,y,z theo thứ tự là độ dài 3 cạnh tam giác nên
$(x+y)\geqslant z \Rightarrow z(x+y)\geqslant z^{2}$
$\Rightarrow zx+zy\geqslant z^{2}$
$\Rightarrow xy+xz\geqslant x^{2}$
$\Rightarrow yx+yz\geqslant y^{2}$
cộng theo vế ta có ngay đpcm
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}\geqslant \dfrac{(x+y+z)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
khi đó ta cần đi chứng minh:
$(x+y+z)^{2}\geqslant 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
$\Leftrightarrow 2xy+2yz+2xz\geqslant x^{2}+y^{2}+z^{2}$
mà do x,y,z theo thứ tự là độ dài 3 cạnh tam giác nên
$(x+y)\geqslant z \Rightarrow z(x+y)\geqslant z^{2}$
$\Rightarrow zx+zy\geqslant z^{2}$
$\Rightarrow xy+xz\geqslant x^{2}$
$\Rightarrow yx+yz\geqslant y^{2}$
cộng theo vế ta có ngay đpcm
- minhducqhhehe yêu thích
#3
Đã gửi 24-11-2011 - 22:18
minhducqhhehe
-
- Thành viên
-
- 28 Bài viết
Binh nhất
mình xin lỗi,do đọc không kĩ đề 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
