Chủ đề này có 2 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Xét dãy $P_{k}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{i^{k}}{i+1};k \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:
$$P_{k}^2 \le P_{k+1}P_{k-1}$$

[nguyenlyninhkhang]

Mình cũng không rành về BĐT lắm, nhưng mình thấy thấy thế này. Nếu

     $ {a_1} < {a_2}... < {a_n}$ và ${b_1} > {b_2}... > {b_n} ,$ thì

     $n\left( {\sum\limits_{i,j = 1}^n {{a_i}{b_j}} } \right) < \sum\limits_1^n {{a_i}.} \sum\limits_1^n {{b_i}} $. ( Từ BDT Chebyshev)
Mà: $1 - \frac{1}{{i + 1}} < 1 - \frac{1}{{(i + 1) + 1}}$ và $\frac{1}{i} - \frac{1}{{i + 1}} > \frac{1}{{i + 1}} - \frac{1}{{(i + 1) + 1}}$,

$\sum\limits_1^n {\frac{{{i^{k + 1}}}}{{i + 1}}.} \sum\limits_1^n {\frac{{{i^{k - 1}}}}{{i + 1}}}  > n\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\frac{{{i^k}}}{{i + 1}}} \right)}^2}} } \right) > \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\frac{{{i^k}}}{{i + 1}}} \right)}^2}} $.

 

[chanhquocnghiem]

Bài toán: Xét dãy $P_{k}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{i^{k}}{i+1};k \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:
$$P_{k}^2 \le P_{k+1}P_{k-1}$$

Ta thử tính $P_k$ (số hạng thứ $k$ bất kỳ của dãy đang xét)

Với mọi $k\in \mathbb{N}^*$, ta có :

$P_k=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i^k}{i+1}=\frac{1^k}{2}+\frac{2^k}{3}+\frac{3^k}{4}+...$ (vô số số hạng)

Dễ thấy mỗi số hạng của $P_k$ đều lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$, do đó :

$P_k> \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...$ (vô số số hạng)

$\Rightarrow P_k$ là chuỗi phân kỳ, hay nói cách khác $P_k$ là số không xác định.

Dãy đang xét gồm toàn những "số không xác định" (!!!).

Vậy còn chứng minh gì nữa ???