Xét dãy $P_{k}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{i^{k}}{i+1};k \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh rằng: $$P_{k}^2 \le P_{k+1}P_{k-1}$$
#1
Đã gửi 03-12-2011 - 21:00
$$P_{k}^2 \le P_{k+1}P_{k-1}$$
#2
Đã gửi 20-11-2016 - 06:22
Mình cũng không rành về BĐT lắm, nhưng mình thấy thấy thế này. Nếu
$ {a_1} < {a_2}... < {a_n}$ và ${b_1} > {b_2}... > {b_n} ,$ thì
$n\left( {\sum\limits_{i,j = 1}^n {{a_i}{b_j}} } \right) < \sum\limits_1^n {{a_i}.} \sum\limits_1^n {{b_i}} $. ( Từ BDT Chebyshev)
Mà: $1 - \frac{1}{{i + 1}} < 1 - \frac{1}{{(i + 1) + 1}}$ và $\frac{1}{i} - \frac{1}{{i + 1}} > \frac{1}{{i + 1}} - \frac{1}{{(i + 1) + 1}}$,
$\sum\limits_1^n {\frac{{{i^{k + 1}}}}{{i + 1}}.} \sum\limits_1^n {\frac{{{i^{k - 1}}}}{{i + 1}}} > n\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\frac{{{i^k}}}{{i + 1}}} \right)}^2}} } \right) > \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\frac{{{i^k}}}{{i + 1}}} \right)}^2}} $.
#3
Đã gửi 20-11-2016 - 14:29
Bài toán: Xét dãy $P_{k}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{i^{k}}{i+1};k \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:
$$P_{k}^2 \le P_{k+1}P_{k-1}$$
Ta thử tính $P_k$ (số hạng thứ $k$ bất kỳ của dãy đang xét)
Với mọi $k\in \mathbb{N}^*$, ta có :
$P_k=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i^k}{i+1}=\frac{1^k}{2}+\frac{2^k}{3}+\frac{3^k}{4}+...$ (vô số số hạng)
Dễ thấy mỗi số hạng của $P_k$ đều lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$, do đó :
$P_k> \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...$ (vô số số hạng)
$\Rightarrow P_k$ là chuỗi phân kỳ, hay nói cách khác $P_k$ là số không xác định.
Dãy đang xét gồm toàn những "số không xác định" (!!!).
Vậy còn chứng minh gì nữa ???
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Khó ^_^
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh:$|P(x)| \le \dfrac{32}{3}H^4-\dfrac{32}{3}H^2+1$Bắt đầu bởi dark templar, 24-12-2011 Khó ^_^ |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
Chứng minh:$\lim_{n \to +\infty}\dfrac{t_{n}}{n}=\dfrac{x}{2\pi}$Bắt đầu bởi dark templar, 23-12-2011 Khó ^_^ |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh