Chủ đề này có 1 trả lời

[cvp]

Tìm số tựu nhiên $n$ sao cho $A$ là số chính phương trong đó:
$A=1^{2}+2^{2}+3^{2}+.....+n^{2} ; n>1$

[Ispectorgadget]

Ta có: $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\forall n\in N;n\geq 1$ Cái này chứng minh dễ dàng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Giả sử: $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=k^2;k\in N;k\geq 1\Leftrightarrow 6k^2=n(n+1)(2n+1)$
Với n=6m, m thuộc N, m>1 $\Leftrightarrow m(72m^2+18m+1)=k^2$
Do $(m;72m^2+18m+1)=1$
m là số chính phương nhỏ nhất và m>1 thì m chì có thể =4$\Rightarrow n=24;k=70$
Ta có: $1^2+2^2+...+24^2=70^2$
Xét tiếp với n=6m+1 $\Leftrightarrow (6m+1)(3m+1)(4m+1)=k^2$
Do 3 số trên nguyên tố cùng nhau nên từng số trong "ngoặc" đều là SCP
$\Rightarrow 6m+1=x^2;3m+1=y^2;4m+1=z^2(x;y;z>1;\in N)$
Do đó k>70
Ta cũng xét tương tự những TH khác n=6m+2; n=6m+3:....n=6m+5
Ta tìm được n thuộc N bé nhất = 24


Bài này mình làm cũng lâu rồi nên không nhớ chính xác cách làm cho lắm. Bạn kiểm tra lại dùm.