$\sqrt{x^{2}+y^{2}+3xy}+\sqrt{y^{2}+z^{2}+3zy}+\sqrt{x^{2}+z^{2}+3xz}\leq \sqrt{5}(x+y+z)$
#1
Đã gửi 07-12-2011 - 16:20
2/$ab+bc+ca=1$,CMR
$3abc(a+b+c)\leq 1$
3/a,b,c>0 và abc=1
$\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{a+c}{\sqrt{b}}+\dfrac{b+a}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$
4/
$\sqrt{x^{2}+y^{2}+3xy}+\sqrt{y^{2}+z^{2}+3zy}+\sqrt{x^{2}+z^{2}+3xz}\leq \sqrt{5}(x+y+z)$
- congalata yêu thích
Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF
#2
Đã gửi 07-12-2011 - 17:39
$VT\geq \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$
Bài 4:
$\sum \sqrt{x^2+y^2+3xy}= \sum \sqrt{5(\dfrac{x+y}{2})^2+\dfrac{(x-y)^2}{4}}\leq \sum \dfrac{\sqrt{5}}{2}(x+y)$
Từ đây ta có Đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 10-12-2011 - 21:22
- Cao Xuân Huy và Poseidont thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#3
Đã gửi 07-12-2011 - 21:18
Bổ sung đk sau: x,y,z không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng 0.
\[\frac{{{x^2} - {z^2}}}{{y + z}} + z = \frac{{{x^2} + yz}}{{y + z}};\frac{{{z^2} - {y^2}}}{{x + y}} + y = \frac{{{z^2} + xy}}{{x + y}};\frac{{{y^2} - {x^2}}}{{x + z}} + x = \frac{{{y^2} + zx}}{{x + z}}\]
\[bdt \Leftrightarrow \sum {\frac{{{x^2} + yz}}{{y + z}}} \ge x + y + z\]
\[VT \ge \frac{{{{\left( {\sum {{x^2}} + \sum {yz} } \right)}^2}}}{{\sum {\left( {y + z} \right)\left( {{x^2} + yz} \right)} }}\]
Ta cần chứng minh:
\[{\left( {\sum {{x^2}} + \sum {yz} } \right)^2} \ge \left( {x + y + z} \right).\sum {\left( {y + z} \right)\left( {{x^2} + yz} \right)} \]
Khai triển và thu gọn, ta thu được kết quả quen thuộc
\[{x^4} + {y^4} + {z^4} \ge {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}\]
Vậy suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$
Hướng khác: Quy đồng rồi tương đương, cũng đưa về bđt \[{x^4} + {y^4} + {z^4} \ge {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-12-2011 - 21:27
- Poseidont yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#4
Đã gửi 08-12-2011 - 15:22
$$(ab+bc+ca)^2 \ge 3ab.bc+3bc.ca+3ca.ab = 3abc(a+b+c) \iff 1 \ge 3abc(a+b+c)$$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh