Chủ đề này có 8 trả lời

[dieunep]

giải phương trình:
$\sqrt{\dfrac{x+7}{x+1}}+8=2x^{2}+\sqrt{2x-1}$

MoD: Hãy đặt tiêu đề là mệnh lệnh bài toán (giải pt thì phải cụ thể pt nào ra).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-12-2011 - 22:02

[Zaraki]

Lời giải. $\sqrt{\dfrac{x+7}{x+1}}+8=2x^{2}+\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow2x^2-8+\dfrac{\sqrt{2x^2+x-1}-\sqrt{x+7}}{\sqrt{x+1}}=0\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow(2x^2-8)\left(1+\dfrac{1}{(\sqrt{2x^2+x-1}+\sqrt{x+7})\sqrt{x+1}}\right)=0\Leftrightarrow x\in \{2,-2 \}$.

[thedragonknight]

Lời giải. $\sqrt{\dfrac{x+7}{x+1}}+8=2x^{2}+\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow2x^2-8+\dfrac{\sqrt{2x^2+x-1}-\sqrt{x+7}}{\sqrt{x+1}}=0\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow(2x^2-8)\left(1+\dfrac{1}{(\sqrt{2x^2+x-1}+\sqrt{x+7})\sqrt{x+1}}\right)=0\Leftrightarrow x\in \{2,-2 \}$.

Toàn giải sai rồi vì ko chú ý đến đkiện là $ x\geq \dfrac{1}{2}$ nên x= -2 sẽ loại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 22-12-2011 - 21:40

[ht2pro102]

Sao anh có thể nghĩ cách tách nhân tử ảo đến như vậy?

[perfectstrong]

Loại tách nhân tử thường dựa vào điểm rơi của x (tức là nghiệm của số x đó)
Ví dụ 1 bài cho bạn thấy:
Giải phương trình:
\[ \sqrt[3]{x^2-1}-\sqrt{x^3-2}+x=0 \]\

Lời giải mình sẽ post sau khi bạn "không giải nổi"

[Cao Xuân Huy]

Giải phương trình:
\[ \sqrt[3]{x^2-1}-\sqrt{x^3-2}+x=0 \]\

$\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} - \sqrt {{x^3} - 2} + x = 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} - 2} \right) - \left( {\sqrt {{x^3} - 2} - 5} \right) + (x - 3) = 0$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 9}}{{{{(\sqrt[3]{{{x^2} - 1}})}^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} - \dfrac{{{x^3} - 27}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}} + x - 3 = 0$
$ \Leftrightarrow (x - 3)\left[ {\dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} - \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}} + 1} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow x=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 22-12-2011 - 21:36

[perfectstrong]

$\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} - \sqrt {{x^3} - 2} + x = 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} - 2} \right) - \left( {\sqrt {{x^3} - 2} - 5} \right) + (x - 3) = 0$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 9}}{{{{(\sqrt[3]{{{x^2} - 1}})}^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} - \dfrac{{{x^3} - 27}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}} + x - 3 = 0$
$ \Leftrightarrow (x - 3)\left[ {\dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} - \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}} + 1} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow x=3$

Đúng như anh nghĩ. Huy đã phạm một sai lầm nghiêm trọng. Chưa chứng minh cái vế sau $\neq 0$ thì sao mà kết luận.
Bài toán này khó ở cái đuôi sau thôi.

[thedragonknight]

Mấy bài này cần hỗ trợ của casio thì biết đc nghiệm trước.Nếu học casio thì cách giải quyết sẽ đơn giản hơn nhiều

[perfectstrong]

$\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} - \sqrt {{x^3} - 2} + x = 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} - 2} \right) - \left( {\sqrt {{x^3} - 2} - 5} \right) + (x - 3) = 0$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 9}}{{{{(\sqrt[3]{{{x^2} - 1}})}^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} - \dfrac{{{x^3} - 27}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}} + x - 3 = 0$
$ \Leftrightarrow (x - 3)\left[ {\dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} - \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}} + 1} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow x=3$

Bổ sung cách chứng minh vế phía sau.
TH2:
\[\begin{array}{l}
\dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} - \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}} + 1 = 0 \\
\Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} + 1 = \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}}\left( 1 \right) \\
\end{array}\]
Ta chứng minh:
\[\begin{array}{l}
\dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}} > 2{\rm{ }}\left( 2 \right) \\
\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 9 > 2\sqrt {{x^3} - 2} + 10 \\
\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 1 > 2\sqrt {{x^3} - 2} \\
\end{array}\]
Đặt
\[\left\{ \begin{array}{l}
u = \sqrt {x - 1} > 0 \\
v = \sqrt {{x^2} + x + 1} > 0 \\
\end{array} \right.\]
\[{x^2} + 3x - 1 = {v^2} + 2{u^2} > 2\sqrt 2 uv > 2uv = 2\sqrt {{x^3} - 1} > 2\sqrt {{x^3} - 2} \Rightarrow \left( 2 \right):True\]
Tiếp theo, ta chứng minh:
\[\begin{array}{l}
\dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} + 1 < 2{\rm{ }}\left( 3 \right) \\
\Leftrightarrow x + 3 < {\left( {\sqrt[3]{{{x^2} - 1}}} \right)^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4 \text{ }(*)\\
\end{array}\]
Đặt $ t = \sqrt[3]{{{x^2} - 1}} > 0$.
\[\begin{array}{l}
(*) \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 4 > \sqrt {{t^3} + 1} + 3 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 > \sqrt {{t^3} + 1} > 0 \\
\Leftrightarrow {t^4} + 4{t^3} + 6{t^2} + 4t + 1 > {t^3} + 1 \Leftrightarrow {t^4} + 3{t^3} + 6{t^2} + 4t > 0:True \Rightarrow \left( 3 \right):True \\
\end{array}\]
Từ (2) và (3), suy ra (1) vô nghiệm.