Chủ đề này có 5 trả lời

[hxthanh]

Sử dụng khai triển nhị thức Newton (thông thường) để chứng minh đẳng thức sau:
$$\sum_{k=0}^n 4^{n-k}C_{4n}^{\;2n+2k}C_{2n+2k}^{\;k}=C_{8n}^{\;2n};\;n\in\mathbb{N}^*$$
hay:
$$\sum_{k=0}^n 4^{n-k}\binom{4n}{2n+2k}\binom{2n+2k}{k}=\binom{8n}{2n};\;n\in\mathbb{N}^*$$
____________________________________________________________________________
Lưu ý: Chỉ dùng công thức khai triển với hệ số tự nhiên thông thường thôi đấy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 19-12-2011 - 02:42

[PSW]

Em không rõ cách của thầy Thanh thế nào ; nhưng em rất thích bài Toán này vì nó không hề dùng bất kỳ không cụ nào mạnh cả ; nhưng ý tưởng rất hay và tự nhiên :

Hôm nay em bận dạo phố tí nên em sẽ ghi 1 ít ra đây trước ; tối về ghi nốt :

Phần 1 :

Ta xét khai triển $\mathcal{A}(x) = \left ( x^3 + \dfrac{1}{x} \right )^{8n}$

Rõ ràng : hệ số của $x^0$ trong khai triển nói trên bằng : $\binom{8n}{2n}$ ( cái này dễ thấy từ công thức khai triển nhị thức Newton)

Tuy nhiên ; nếu ta viết lại để khai triển $\mathcal{A}(x) $ theo 1 cách khác thì ta sẽ có :

$\mathcal{A}(x) = \left ( x^6 + 2x^2 + \dfrac{1}{x^2} \right )^{4n}$

$ = \left ( 2x^2 + \left ( x^6 + \dfrac{1}{x^2} \right ) \right )^{4n}$

$ = \sum_{l=0}^{4n}\binom{4n}{l}\left ( x^6+\dfrac{1}{x^2} \right )^{l} \left ( 2x^2 \right )^{4n-l} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 24-12-2011 - 21:07

[PSW]

Phần 2 :

Do ta cần xem xét hệ số của $x^0$ nên cũng chỉ cần xét các giá trị $ l \ge 2n$

Giả sử tồn tại giá trị $ t \in \mathbb{N} ; 0 \le t \le l$ sao cho :

$ 6t - 2(l-t) + 2(4n-l)=0$

$ \implies 8t - 2l + 8n - 2l=0 \implies l = 2n + 2t$

$ \implies 2 |l \implies l = 2n + 2k \ \ ( k \in \mathbb{N})$

Tức là để tìm hệ số $x^0$ trong khai triển $ \mathcal{A}(x)$ ; ta chỉ cần tìm hệ số $x^0$ trong khai triển $ \mathcal{B}(x) = \sum_{k=0}^{n}\binom{4n}{2n+2k}\left ( x^6 +\dfrac{1}{x^2} \right )^{2n+2k}\left ( 2x^2 \right )^{2n-2k}$

Bây giờ ; trong khai triển của $\left ( x^6 +\dfrac{1}{x^2} \right )^{2n+2k}\left ( 2x^2 \right )^{2n-2k}$ ; giả sử tồn tại giá trị không âm $t$ sao cho :

$ 6t -2 (2k+2n-t) + 2(2n-2k)=0 \iff t=k$

Tức là hệ số $x^0$ trong khia triển $ \mathcal{B}(x)$ bằng :

$\sum_{k=0}^{n}\binom{4n}{2n+2k}\binom{2n+2k}{k}\left ( 2 \right )^{2n-2k}$

$ = \sum_{k=0}^{n} 4^{n-k}\binom{4n}{2n+2k}\binom{2n+2k}{k}$

Từ đây suy ra : $ \sum_{k=0}^{n} 4^{n-k}\binom{4n}{2n+2k}\binom{2n+2k}{k} = \binom{8n}{2n}$

Đây là điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 24-12-2011 - 21:41

[hxthanh]

Cảm ơn PSW đã cho 1 lời giải hay!
Còn sau đây là đáp án:

Xét khai triển $A(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{8n}$

Ta có: $A(x)=\sum\limits_{k=0}^{8n} C_{8n}^k x^{8n-k}.\dfrac{1}{x^k}=\sum\limits_{k=0}^{8n} C_{8n}^k x^{8n-2k}$
Từ đây suy ra hệ số của $x^{4n}$ là $C_{8n}^{2n}$

Mặt khác, ta có:

$A(x)=\left[\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+2\right]^{4n}=\sum\limits_{i=0}^{4n} C_{4n}^i 2^i \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^{4n-i}=\sum\limits_{i=0}^{4n} C_{4n}^i 2^i \sum\limits_{k=0}^{4n-i} C_{4n-i}^k x^{2(4n-i-k)}.\dfrac{1}{x^{2k}}$

$A(x)=\sum\limits_{i=0}^{4n} C_{4n}^i 2^i \sum\limits_{k=0}^{4n-i} C_{4n-i}^k x^{8n-2i-4k}$

Như vậy với $8n-2i-4k=4n\Leftrightarrow 0\le i=2n-2k \le 2n\Rightarrow 0 \le k \le n$
ta có hệ số của $x^{4n}$ là

$\sum\limits_{k=0}^n C_{4n}^{2n-2k}.2^{2n-2k}C_{4n-(2n-2k)}^k=\sum\limits_{k=0}^n C_{4n}^{2n+2k}.4^{n-k}C_{2n+2k}^k$
__________________
Đẳng thức được chứng minh

[PSW]

Một khi con dân VMF đoàn kết thì không bài nào là không giải được

[Peter Pan]

Sử dụng khai triển nhị thức Newton (thông thường) để chứng minh đẳng thức sau:
$$\sum_{k=0}^n 4^{n-k}C_{4n}^{\;2n+2k}C_{2n+2k}^{\;k}=C_{8n}^{\;2n};\;n\in\mathbb{N}^*$$
hay:
$$\sum_{k=0}^n 4^{n-k}\binom{4n}{2n+2k}\binom{2n+2k}{k}=\binom{8n}{2n};\;n\in\mathbb{N}^*$$
____________________________________________________________________________
Lưu ý: Chỉ dùng công thức khai triển với hệ số tự nhiên thông thường thôi đấy!

Lời giải bằng nhị thức đã có, vậy em xin đóng góp một lời giải về đếm bằng 2 cách
Xét $8n$ viên bị, ta sẽ đếm số cách chọn $2n$ viên bi từ $8n$ viên bi này khi đó có $C_{8n}^{2n}$ cách
Mặt khác, ta sẽ đếm theo cách sau: cho $8n$ viến bi này vào $4n$ hộp, mỗi hộp có 2 viên:
+ Đầu tiên chọn ra đúng $k$ hộp sao cho mỗi hộp có đúng 1 viên bi được lấy ra,
-số cách chọn $2n-2k$ hộp trong $4n$ hộp là $C_{4n}^{2n-2k}$
-Trong mỗi hộp trong $2n-2k$ hộp trên ta chọn ra đúng 1bi trong 2 viên bi có trong hộp -> số cách chọn là $2^{2n-2}=4^{n-k}$
-Chọn $2k$ viên bi còn lại trong $2n+2k$ hộp còn lại sao cho mỗi hộp sẽ có đúng 2 bi được chọn sẽ là $k$ hộp. nên có $C_{2n+2k}^{k}$ cách chọn
Từ đó suy ra số cách chọn $2n$ trong $8n$ viên bi theo cách đếm thứ 2 sẽ là $\sum_{k=0}^n 4^{n-k}C_{4n}^{\;2n+2k}C_{2n+2k}^{\;k}$
đpcm
P/s: Mary Christmas

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi winwave1995: 25-12-2011 - 00:57