Chủ đề này có 4 trả lời

[DBSK]

CMR: $n \in N$
$\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + .... + \dfrac{1}{2n} > \dfrac{13}{24} (n>1)$

$\dfrac{1}{2}. \dfrac{3}{4}. ..... . \dfrac{2n-1}{2n} \leq \dfrac{1}{\sqrt{3n+1}}$

[Nguyễn Hưng]

CMR: $n \in N$
$\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + .... + \dfrac{1}{2n} > \dfrac{13}{24} (n>1)$

Những bài này hình như có thể giải quyết đơn giản bằng phương pháp quy nạp, bạn đã thử chưa nhỉ?

Kiểm chứng bất đẳng thức với $n=1,2,3$. Giả sử ta có
\[A = \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2n}} > \dfrac{{13}}{{24}}\]
Nếu ta chứng minh được
\[B = \dfrac{1}{{n + 2}} + \dfrac{1}{{n + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2n}} + \dfrac{1}{{2n + 1}} + \dfrac{1}{{2n + 2}} > \dfrac{{13}}{{24}}\]
thì theo nguyên lí quy nạp, ta có bất đẳng thức đã cho luôn đúng.

Thật vậy, ta có
\[A = B - \dfrac{1}{{2n + 1}} - \dfrac{1}{{2n + 2}} + \dfrac{1}{{n + 1}} > \dfrac{{13}}{{24}} \Rightarrow B > \dfrac{{13}}{{24}} + \dfrac{1}{{2n + 1}} + \dfrac{1}{{2n + 2}} - \dfrac{1}{{n + 1}}\]
Chỉ còn phải chứng minh $\dfrac{1}{{2n + 1}} + \dfrac{1}{{2n + 2}} - \dfrac{1}{{n + 1}} > 0$ nữa là hoàn tất, mà bất đẳng thức này lại tương đương với $\dfrac{1}{{2n + 1}} > \dfrac{1}{{2n + 2}}$, một điều hiển nhiên đúng.

[Nguyễn Hưng]

CMR: $n \in N$
$\dfrac{1}{2}. \dfrac{3}{4}. ..... . \dfrac{2n-1}{2n} \leq \dfrac{1}{\sqrt{3n+1}}$

Tiếp tục quy nạp thôi.

Dễ dàng kiểm chứng bước cơ sở. Giả sử
\[\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.....\dfrac{{2n - 1}}{{2n}} \le \dfrac{1}{{\sqrt {3n + 1} }}\]
Ta cần chứng minh
\[\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.....\dfrac{{2n - 1}}{{2n}}.\dfrac{{2n + 1}}{{2n + 2}} \le \dfrac{1}{{\sqrt {3n + 4} }}\]
Theo giả thiết quy nạp thì ta có
\[\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.....\dfrac{{2n - 1}}{{2n}}.\dfrac{{2n + 1}}{{2n + 2}} \le \dfrac{1}{{\sqrt {3n + 1} }}.\dfrac{{2n + 1}}{{2n + 2}}\]
Cần chứng minh

\[\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{\sqrt {3n + 1} }}.\dfrac{{2n + 1}}{{2n + 2}} \le \dfrac{1}{{\sqrt {3n + 4} }} \\
\Leftrightarrow {\left( {2n + 1} \right)^2}\left( {3n + 4} \right) \le {\left( {2n + 2} \right)^2}\left( {3n + 1} \right) \\
\Leftrightarrow 0 \le n \\
\end{array}\]
Bất đẳng thức cuối là hiển nhiên.

[DBSK]

Những bài này hình như có thể giải quyết đơn giản bằng phương pháp quy nạp, bạn đã thử chưa nhỉ?

K

Mình đưa lên để thảo luận chứ không phải để hỏi thế nên PP quy nạp mình đã thử rồi!

[Ispectorgadget]

Cách làm anh Hưng khá hay mà anh cho em biết tại sao mình nghĩ ra cái đó không.
Đây là câu hỏi em từng thắc mắc từ hồi lớp 9 tới giờ :">