Chủ đề này có 3 trả lời

[cvp]

Bài 1:
Cho $a;b;c>0; abc=1$.
CMR: $\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{b}}+\dfrac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$
Bài 2: Cho $a;b;c;d>0 ; c^{2}+d^{2}=(a^{2}+b^{2})^{3}$
CMR: $\dfrac{a^{3}}{c}+\dfrac{b^{3}}{d}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-12-2011 - 00:20

[Ispectorgadget]

Bài 1:
$VT\geq \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$
Bài 2:
$VT=\dfrac{a^4}{ac}+\dfrac{b^4}{bd}\geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{ac+bd}\geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}=\dfrac{(a^2+b^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^4}}=1$

Bắt bẻ dữ thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-12-2011 - 20:33

[cvp]

Anh làm đúng rồi chỉ có chỗ:

$\dfrac{(a^2+b^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}\geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^4}}=1$

Phải thay dấu $\geq$ bằng dấu $=$ vì $c^{2}+d^{2}=(a^{2}+b^{2})^{3}$
hì hì! em đùa mà!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 28-12-2011 - 17:05

[perfectstrong]

Bài 2 là Singapore MO 2000.
Lời giải khác cho bài 2:
Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có:
\[\begin{array}{l}
\left( {\dfrac{{{a^3}}}{c} + \dfrac{{{b^3}}}{d}} \right)\left( {\dfrac{{{a^3}}}{c} + \dfrac{{{b^3}}}{d}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {\dfrac{{{a^3}}}{c}} \right)}^2}.{c^2}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {\dfrac{{{b^3}}}{d}} \right)}^2}.{d^2}}}} \right)^3} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^3} \\
\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{a^3}}}{c} + \dfrac{{{b^3}}}{d}} \right)^2} \ge 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}}}{c} + \dfrac{{{b^3}}}{d} \ge 1 \\
\end{array}\]