Chủ đề này có 9 trả lời

[Math Is Love]

Chứng minh số sau là hợp số: $n^4+4^n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-12-2011 - 21:17

[nguyenta98]

Em thấy bài này hợp lệ mà
Giải như sau:
Th1: $n$ chẵn suy ra đương nhiên $n^4+4^n$ là hợp số đpcm
Th2: $n$ lẻ suy ra $n=2k+1$
Suy ra $n^4+4^n=n^4+2^{2n}=n^4+2.2^n+2^{2n}-2.2^n=(n^2+2^n)^2-2.2^{2k+1}=(n^2+2^n)^2-(2^{k+1})^2=(n^2+2^n-2^{k+1})(n^2+2^n+2^{k+1})$
Suy ra là tích của 2 số nên nó là hợp số

Mình cũng biết là bài này là không hợp lệ nhưng vì tính khái quát và hay của nó nên mình vẫn giải cho ban. Mong ban quản trị thông cảm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 25-12-2011 - 11:57

[Aries Intelligent]

Cho em hỏi chỉ biết đó là tích của 2 số thì lsao khẳng định là hợp số ạ ? 

[toanc2tb]

Cho em hỏi chỉ biết đó là tích của 2 số thì lsao khẳng định là hợp số ạ ? 

 

Vì hợp số có 2 ước trở lên mà!

[Aries Intelligent]

Vì hợp số có 2 ước trở lên mà!

Nhưng lỡ 1 trong 2 số là số 1 thì sao ?

[toanc2tb]

Em thấy bài này hợp lệ mà
Giải như sau:
Th1: $n$ chẵn suy ra đương nhiên $n^4+4^n$ là hợp số đpcm
Th2: $n$ lẻ suy ra $n=2k+1$
Suy ra $n^4+4^n=n^4+2^{2n}=n^4+2.2^n+2^{2n}-2.2^n=(n^2+2^n)^2-2.2^{2k+1}=(n^2+2^n)^2-(2^{k+1})^2=(n^2+2^n-2^{k+1})(n^2+2^n+2^{k+1})$
Suy ra là tích của 2 số nên nó là hợp số

Mình cũng biết là bài này là không hợp lệ nhưng vì tính khái quát và hay của nó nên mình vẫn giải cho ban. Mong ban quản trị thông cảm

 

Thế này, đề bài thiếu đk $n > 1$ do n = 1 thì $n^4+4^n$ là số nguyên tố.

 

Nhưng lỡ 1 trong 2 số là số 1 thì sao ?

Cậu thế vào số lẻ nhỏ nhất mà thử, trong trường hợp này do đề bài sai nên xảy ra trường hợp có 1 số bằng 1. Nếu đề đúng thì chắc chắn 2 số đều $>1$

[Near Ryuzaki]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh $2$ nhân tử lớn hơn $1$ khi đó nó mới là hợp số !

[Marcos]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh $2$ nhân tử lớn hơn $1$ khi đó nó mới là hợp số !

Bác nói rõ hơn đc ko ạ ? em mới học toán

[Hoangtheson2611]

A =n^4 + 4 ^n >5 khi n>1

 

n^4 thì sẽ có tận cùng là 1 nếu n lẻ và có tận cùng là 6 nếu n chẵn ( n chẵn thì A là hợp số )và 

4^n thì sẽ có tận cùng là 4 khi n lẻ và 6 khi n chẵn

Nếu n chẵn thì A là hợp số

Nếu n lẻ thì A có tận cùng là 5 => A chia hết cho 5 và A >5 nên A là hợp số 

Vậy A là hợp số (n>1)

[tranductucr1]

xét n chẳn => DPcm
xét n lẻ 
ta có $n^{4}\equiv 1 (mod 5)$ ( định lý fermat nhỏ )
ta lại có $4^{n} +1 \equiv 0$ (mod 5) vì n lẻ 
=> dpcm