Với x,y,z là các số thực dương.Tìm MAX
$\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
Với x,y,z là các số thực dương.Tìm MAX $\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
Started By phamvanha92, 26-12-2011 - 22:08
#2
Posted 26-12-2011 - 23:25
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 posts
Nothing
Làm thử không biết đúng không 
P max khi $\dfrac{1}{P}min$
$1/P=\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+xz)-yzx}{xyz}=(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz})(xy+xz+yz)-1$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
P$\geq (xy.\dfrac{1}{xy}+xz.\dfrac{1}{xz}+yz.\dfrac{1}{yz})^2-1=9-1=8$
Do đó: $P\leq \dfrac{1}{8}$
Vậy P max = $\dfrac{1}{8}$ Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
P max khi $\dfrac{1}{P}min$
$1/P=\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+xz)-yzx}{xyz}=(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz})(xy+xz+yz)-1$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
P$\geq (xy.\dfrac{1}{xy}+xz.\dfrac{1}{xz}+yz.\dfrac{1}{yz})^2-1=9-1=8$
Do đó: $P\leq \dfrac{1}{8}$
Vậy P max = $\dfrac{1}{8}$ Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
Edited by Ispectorgadget, 26-12-2011 - 23:28.
- phamvanha92 likes this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#3
Posted 26-12-2011 - 23:37
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 posts
Thượng úy
Anh ispectorgadget làm quan trọng hóa vấn đề rồi (chắc anh học lớp lớn nên toàn làm cách cao nhỉ)
$P$ max khi $\dfrac{1}{P}$ min
Suy ra $\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$ min
Lại có $\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}\geq \dfrac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=8$
Suy ra $P\le \dfrac{1}{8}$ Dấu "=" khi $x=y=z$
$P$ max khi $\dfrac{1}{P}$ min
Suy ra $\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$ min
Lại có $\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}\geq \dfrac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=8$
Suy ra $P\le \dfrac{1}{8}$ Dấu "=" khi $x=y=z$
Edited by nguyenta98, 26-12-2011 - 23:39.
- Ispectorgadget, Poseidont and phamvanha92 like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
