Chủ đề này có 3 trả lời

[phamvanha92]

Tìm MIN: P=$\dfrac{4a}{b+c-a}+\dfrac{9b}{a+c-b}+\dfrac{16c}{a+b-c}$ với a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác.

[nguyenta98]

Đặt $b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z$ suy ra $a=\dfrac{y+z}{2};b=\dfrac{x+z}{2};c=\dfrac{x+y}{2}$
Do đó $2P=\dfrac{4(y+z)}{x}+\dfrac{9(x+z)}{y}+\dfrac{16(x+y)}{z}=(4\dfrac{y}{x}+9\dfrac{x}{y})+(4\dfrac{z}{x}+16\dfrac{x}{z})+(9\dfrac{z}{y}+16\dfrac{y}{z})$
Dễ thấy $(4\dfrac{y}{x}+9\dfrac{x}{y})+(4\dfrac{z}{x}+16\dfrac{x}{z})+(9\dfrac{z}{y}+16\dfrac{y}{z})\geq 2\sqrt{4\dfrac{y}{x}*9\dfrac{x}{y}}+2\sqrt{4\dfrac{z}{x}*16\dfrac{x}{z}}+2\sqrt{9\dfrac{z}{y}*16\dfrac{y}{z}}=52$
Suy ra $P\geq 26$ Dấu "=" khi $2y=3x;2z=4x,3z=4y$ thay vào sẽ ra dấu "=" ở $a,b,c$
Vậy $Pmin=26$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 26-12-2011 - 23:58

[Crystal]

Tìm MIN: P=$\dfrac{4a}{b+c-a}+\dfrac{9b}{a+c-b}+\dfrac{16c}{a+b-c}$ với a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác.

Bài này có thể dùng Bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Ta có: $$2P = 4\dfrac{{2a}}{{b + c - a}} + 9\dfrac{{2b}}{{a + c - b}} + 16\dfrac{{2c}}{{a + b - c}}$$
$$ = 4\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{b + c - a}} - 1} \right) + 9\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{a + c - b}} - 1} \right) + 16\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{a + b - c}} - 1} \right)$$
$$ = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{4}{{b + c - a}} + \dfrac{9}{{a + c - b}} + \dfrac{{16}}{{a + b - c}}} \right) - 29$$
$$ = \left[ {\left( {b + c - a} \right) + \left( {a + c - b} \right) + \left( {a + b - c} \right)} \right]\left( {\dfrac{4}{{b + c - a}} + \dfrac{9}{{a + c - b}} + \dfrac{{16}}{{a + b - c}}} \right) - 29$$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$$81 = {\left( {2 + 3 + 4} \right)^2} = {\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {b + c - a} }}\sqrt {b + c - a} + \dfrac{3}{{\sqrt {a + c - b} }}\sqrt {a + c - b} + \dfrac{4}{{\sqrt {a + b - c} }}\sqrt {a + b - c} } \right)^2}$$
$$ \leqslant \left[ {\left( {b + c - a} \right) + \left( {a + c - b} \right) + \left( {a + b - c} \right)} \right]\left( {\dfrac{4}{{b + c - a}} + \dfrac{9}{{a + c - b}} + \dfrac{{16}}{{a + b - c}}} \right)$$
Suy ra: $2P \geqslant 81 - 29 = 52 \Leftrightarrow P \geqslant 26$. Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c$

Vậy $\min P = 26 \Leftrightarrow a = b = c$

[toilaab]

Suy ra: $2P \geqslant 81 - 29 = 52 \Leftrightarrow P \geqslant 26$. Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c$
Vậy $\min P = 26 \Leftrightarrow a = b = c$

Anh xusinst đã kết luận sai lầm là $a=b=c$ vì khi đó thì $P=29$ chứ không phải 26?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilaab: 27-12-2011 - 20:31