Bài 371:
Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương a,b,c:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geqslant 3\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$
Em xin giải (có người gợi ý mới ra
)
Nhận thấy $\sum{(\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^2})}=\sum{((\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}+b+c)-(b+c))}=\sum{(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}-(b+c))}$
$\sum{(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}-(b+c))}\geq \dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)$ (AM-GM $1/a+1/b+1/c\geq 9/(a+b+c)$)
Như vậy ta cần chứng minh
$\dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)\geq 3\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}$
$\leftrightarrow \dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)\geq a+b+c$
$\leftrightarrow \dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}\geq 3(a+b+c)$
$\leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca))$
$\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
Luôn đúng do Schur bậc 3 nên đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 05-06-2012 - 18:00