(V. Yasinskyy, Vinnytsya)
Topic bất đẳng thức THCS (2)
#801
Posted 26-06-2012 - 19:40
- L Lawliet and DavidVince like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#802
Posted 26-06-2012 - 20:03
$(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq 3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$Bài 391: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x^2+y^2+z^2\leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2(x+y+z)$$
(V. Yasinskyy, Vinnytsya)
Vì x,y,z dương nên $x+y+z\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
$VT\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{x+y+z}\geq 3\sqrt{2}$
$VP\leq 2.\frac{3}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$
$\Rightarrow VT\geq 3\sqrt{2}\geq VP\Leftrightarrow VT\geq VP$
$\Rightarrow$ đpcm
- tomandjerry789 likes this
#803
Posted 26-06-2012 - 20:39
Đây không phải là BĐT Cauchy-Schwarz !Ý mình muốn hỏi là nếu dùng Cauchy-Schwarz thì phải dùng cho 2 bộ 3 số nào để ra được BĐT đó.
Cauchy-Schwarz thì thường thấy chỉ có bậc 2. Cái này thấy có bậc 3 nên mình hơi rối
Bạn nguyenta98 nhầm chút đó bạn!
Đây chỉ là một mở rộng nhỏ của BĐT Holder thôi!
To nguyenta98 lần sau nếu không biết rõ thì chớ nói lung tung nhé!
Em cũng không nên dùng những thuật ngữ tiếng anh trong bài đây đâu có phải là mathlinks !
Chúng ta nên gửi gìn sự thuần khiết cho tiếng việt!
BÀi 375: $a,b,c> 0, ab+bc+ca=1$ cmr
$$(1-a^{2})(1-b^{2})(1-c^{2})\leq abc(a+b)(b+c)(c+a)$$
Banh bị nhầm chút xíu xem kĩ lại nhé đoạn đầu đó!Bài 375:
Ta chứng minh bđt sau
$\large \dpi{100} (1-a^{2})(1-b^{2})\geq (1-ab)^{2}$ (dễ chứng minh)
Ta có:$\large \dpi{100} ab+bc+ca= 1$ nên $\large \dpi{100} (1-ab)^{2}=(ac+bc)^{2}=c^{2}(a+b)^{2}$
Suy ra$\large \dpi{100} (1-a^{2})(1-b^{2})\leq (c^{2})(a+b)^{2}$
Cm tương tự$\large \dpi{100} (1-b^{2})(1-c^{2})\leq (a^{2})(b+c)^{2}$
$\large \dpi{100} (1-c^{2})(1-a^{2})\leq (b^{2})(a+c)^{2}$
Suy ra đpcm
- L Lawliet likes this
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#804
Posted 27-06-2012 - 00:20
Bài toán 392. [Nguyễn Đình Thi]
Cho các số thực không âm $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{4a}{b+c}+\dfrac{4b}{c+a}+\dfrac{4c}{a+b}+\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}\ge 7$$
Bài toán 393. [VMO 2006, B]
Cho các số dương $a, b, c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3\ge 2(a+b+c)$$
Bài toán 394. [MOSP 2001]
Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 4(a+b+c-1)$$
Bài toán 395. [Hồ Thái Phú]
Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+2bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+2ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+2ab}}\le \dfrac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}$$
Bài toán 396. [Vasile Cirtoaje] (hơi khó chịu tí )
Chứng minh rằng, với mọi số thực dương $a, b, c$ thì :
$$\dfrac{3a^2-2ab-b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{3b^2-2bc-c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{3c^2-2ca-a^2}{c^2+a^2}\ge 0$$
Bài toán 397.[ Titu Andresscu, Gabriel Dospinesscu ]
Cho các số thực $x_1, x_2, ..., x_n\in (0, 1)$. Chứng minh rằng :
$$\sum \dfrac{1}{1-x_1}\ge \left (1+\dfrac{\sum x_1}{n}\right )\left (\sum \dfrac{1}{1-x_ix_{\sigma}(i)}\right )$$
Bài toán 398.
Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2$$
Bài toán 399.[ Vasc ]
Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 2\sqrt{1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}}$$
BÀI TOÁN 400. [Vojtec Jarnik]
Cho $x_1, x_2, .., x_n$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện :
$$\dfrac{1}{x_1+1}+\dfrac{1}{x_2+1}+...+\dfrac{1}{x_n+1}=1$$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}\ge (n-1)\left (\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_n}}\right )$$
- nguyenta98, ducthinh26032011, WhjteShadow and 2 others like this
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#805
Posted 27-06-2012 - 17:36
Bài này dễ nhấtBài toán 393. [VMO 2006, B]
Cho các số dương $a, b, c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3\ge 2(a+b+c)$$
Ta có bất đẳng thức
$x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \ge 2(xy+yz+xz)$ ( CM ở đây)
Áp dụng với $x=\frac{1}{a}$ ; $y=\frac{1}{b}$ ; $z=\frac{1}{c}$ tacó
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{abc}+1\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}) \\ \Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$
- namcpnh, Poseidont, BlackSelena and 3 others like this
#806
Posted 27-06-2012 - 20:04
saj rùi cậu oi ! k gỉ sủ đuọc $b\geq a\geq c$ o đây$4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq 4.\frac{3}{2}=6$(Bất đẳng thức Netbitt)
Không mất tính tổng quát,giả sử:$b\geq a\geq c$
Ta xét hiệu:$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc)$
$a(b^{2}-c^{2})-a^{2}(b-c)-bc(b-c)=(b-c)(a-b)(c-a)\geq 0$
$\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc \Leftrightarrow \frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc}\geq 1$
Vậy $VT\geq 6+1=7$ $\Rightarrow$ đpcm
- BlackSelena, ducthinh26032011 and WhjteShadow like this
#807
Posted 28-06-2012 - 12:26
Thế sa0 bạn không giả sử $ab^2+bc^2+ca^2\geq a^2b+b^2c+c^2a$ luôn ch0 rồi.Bạn thử xét các trường hợp khác của a,b,c xem $ab^2+bc^2+ca^2\geq a^2b+b^2c+c^2a$ có luôn xảy ra không??!!Sao lại sai hả bạn?$a;b;c$ có vai trò như nhau mà
- BlackSelena, ducthinh26032011 and DavidVince like this
#808
Posted 28-06-2012 - 16:10
Áp dụng BĐT quen thuộc : $\prod (a+b)\geq \frac{8}{9}\sum a.\sum ab$. Ta có :Lâu lắm rồi mới được vào đây
Bài toán 394. [MOSP 2001]
Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 4(a+b+c-1)$$
BĐT $\Leftrightarrow \frac{8}{9}.\sum a.\sum ab\geq 4(\sum a-1)$
$\Leftrightarrow \frac{8}{9}.\sum ab+\frac{4}{\sum a}\geq 4$
Cái này đúng theo AM-GM:
$VT= \frac{4}{9}.\sum ab+\frac{4}{9}.\sum ab+\frac{4}{\sum a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}.\frac{4}{9}.\frac{(\sum ab)^{2}}{\sum a}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}.\frac{4}{9}.3}=4$
Xong .!
- Poseidont, BlackSelena, ducthinh26032011 and 1 other like this
#809
Posted 28-06-2012 - 17:27
Bình phuong 2 vế và rút gọn ta đc ;Lâu lắm rồi mới được vào đây
Bài toán 399.[ Vasc ]
Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 2\sqrt{1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}}$$
BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+2\sum \frac{a}{b}\geq 3+\sum \frac{b}{a}$
Đặt $\frac{a}{b}= x ,\frac{b}{c}= y,\frac{c}{a}= z\Rightarrow xyz=1$
BĐT trỏ thành :
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(x+y+z)\geq 3+2(xy+yz+zx)$
Áp dụng BĐT : $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$
Ta đc:$\sum x^{2}+2\sum x\geq \sum x^{2}+6= (\sum x^{2}+2xyz+1)+3\geq 3+2\sum xy$
Đ.P.C.M
Xong!
Edited by Secrets In Inequalities VP, 28-06-2012 - 17:27.
- Poseidont, BlackSelena, minhtuyb and 3 others like this
#810
Posted 29-06-2012 - 17:51
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8}{(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)}\geq 2$Lâu lắm rồi mới được vào đây
Bài toán 398.
Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2$$
Đặt $\frac{a}{b}= x ,\frac{b}{c}= y,\frac{c}{a}= z\Rightarrow xyz=1$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{(x+1)(y+1)(z+1)}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{x+y+z+xy+yz+zx+2}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{x+y+z+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}+2}\geq 2$
Đặt tiếp $x+y+z=t\Rightarrow t\geq \sqrt[3]{xyz}= 3$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{t-2}+\frac{8}{\frac{t^{2}}{3}+t+2}\geq 2\Leftrightarrow \sqrt{t-2}+\frac{24}{t^{2}+3t+6}\geq 2$
$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \sqrt{t-2}-1\geq 1-\frac{24}{t^{2}+3t+6}\Leftrightarrow \frac{t-3}{\sqrt{t-2}+1}\geq \frac{(t-3)(t+6)}{t^{2}+3t+6}$
$\Leftrightarrow (t-3)(\frac{1}{\sqrt{t-2}+1}-\frac{t+6}{t^{2}+3t+6})\geq 0\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{t-2}+1}-\frac{t+6}{t^{2}+3t+6}\geq 0$
$\Leftrightarrow t^{2}+3t+6\geq (\sqrt{t-2}+1)(t+6)\Leftrightarrow t^{2}+2t\geq (t+6)\sqrt{t-2}$
$\Leftrightarrow (t^{2}+2t)^{2}\geq [(t+6))\sqrt{t-2}]^{2}$
$\Leftrightarrow (t-3)(t^{3}+6t^{2}+12t+24)\geq 0$
Luôn đúng .
OK.
- Tham Lang, Mai Duc Khai, Poseidont and 3 others like this
#811
Posted 30-06-2012 - 08:21
Đầu tiên ta chứng minh:
$$\dfrac{4a}{a+b}+\dfrac{4b}{b+c}+\dfrac{4c}{c+a}+\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}\ge 7$$ (1)
Mà mặt khác ta sẽ chứng minh được:Đặt $\dfrac{b}{a}=x; \dfrac{c}{b}=y; \dfrac{a}{c}=z \Rightarrow xyz=1$
Bđt $\Leftrightarrow \dfrac{4}{1+x}+\dfrac{4}{1+y}+\dfrac{4}{1+z}+\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1}{x+y+z+1}\geq 7$
Đặt tương tự như bài trên ta đc
$4.\dfrac{m+2n}{m+n}+\dfrac{m}{n}\geq 7$
$\Leftrightarrow (m-n)^2 \geq 0$ (đúng)
Vậy ta có đpcm.
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$ (2)
Thật vậy (2) $\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{a+b}\geq \frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}$
$\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{a+b}\geq 3$ (Luôn đúng the0 cô si 3 số)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Edited by WhjteShadow, 30-06-2012 - 08:23.
- congalata, BlackSelena, Secrets In Inequalities VP and 3 others like this
#812
Posted 01-07-2012 - 09:02
----------------------
Lần sau nhớ số bài
Edited by yeutoan11, 01-07-2012 - 09:31.
- NguyThang khtn likes this
- tkvn 97-
#813
Posted 01-07-2012 - 11:12
GT $\Leftrightarrow \sum (\frac{1}{n}-\frac{1}{{x_1}+1})= 0\Leftrightarrow \sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}= 0$Lâu lắm rồi mới được vào đây
BÀI TOÁN 400. [Vojtec Jarnik]
Cho $x_1, x_2, .., x_n$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện :
$$\dfrac{1}{x_1+1}+\dfrac{1}{x_2+1}+...+\dfrac{1}{x_n+1}=1$$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}\ge (n-1)\left (\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_n}}\right )$$
BĐT $\Leftrightarrow \sum (\sqrt{{x_1}}-\frac{n-1}{\sqrt{{x_1}}})\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{{x_1}+1-n}{\sqrt{{x_1}}}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}.\frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}\geq 0$
Giả sủ ${x_1}\geq {x_2}\geq ...\geq {x_n}$
Dễ dàng kiểm tra đc 2 dãy sau cùng tăng .
$\frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}\geq \frac{{x_2}+1-n}{{x_2}+1}\geq ...\frac{{x_n}+1-n}{{x_n}+1}$
và
$\frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}\geq\frac{{x_2}+1}{\sqrt{{x_2}}}\geq ...\frac{{x_n}+1}{\sqrt{{x_n}}}$
Áp dung BĐT chebyshev ta đc :
$\sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}.\frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}\geq \frac{1}{n}\sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}.\sum \frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}= 0$
suy ra Đ.P.C.M
Edited by Secrets In Inequalities VP, 01-07-2012 - 11:14.
- WhjteShadow likes this
#814
Posted 01-07-2012 - 11:19
Chứng minh rằng $a^{2014}+b^{2014}\geq a^{2013}+b^{2013}$
- WhjteShadow likes this
- tkvn 97-
#815
Posted 01-07-2012 - 12:39
Bài này còn rất nhiều cách khá nữa nên các em hãy suy nghĩ thêm nhéBĐT $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8}{(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)}\geq 2$
Đặt $\frac{a}{b}= x ,\frac{b}{c}= y,\frac{c}{a}= z\Rightarrow xyz=1$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{(x+1)(y+1)(z+1)}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{x+y+z+xy+yz+zx+2}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{x+y+z+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}+2}\geq 2$
Đặt tiếp $x+y+z=t\Rightarrow t\geq \sqrt[3]{xyz}= 3$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{t-2}+\frac{8}{\frac{t^{2}}{3}+t+2}\geq 2\Leftrightarrow \sqrt{t-2}+\frac{24}{t^{2}+3t+6}\geq 2$
$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \sqrt{t-2}-1\geq 1-\frac{24}{t^{2}+3t+6}\Leftrightarrow \frac{t-3}{\sqrt{t-2}+1}\geq \frac{(t-3)(t+6)}{t^{2}+3t+6}$
$\Leftrightarrow (t-3)(\frac{1}{\sqrt{t-2}+1}-\frac{t+6}{t^{2}+3t+6})\geq 0\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{t-2}+1}-\frac{t+6}{t^{2}+3t+6}\geq 0$
$\Leftrightarrow t^{2}+3t+6\geq (\sqrt{t-2}+1)(t+6)\Leftrightarrow t^{2}+2t\geq (t+6)\sqrt{t-2}$
$\Leftrightarrow (t^{2}+2t)^{2}\geq [(t+6))\sqrt{t-2}]^{2}$
$\Leftrightarrow (t-3)(t^{3}+6t^{2}+12t+24)\geq 0$
Luôn đúng .
OK.
p/s : Đây là một bài toán rất quen thuộc
- hxthanh likes this
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#816
Posted 01-07-2012 - 16:55
Edited by ToanHocLaNiemVui, 01-07-2012 - 16:56.
Đừng Sợ Hãi Khi Phải
Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn
Mà Hãy Vui Mừng Vì
Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!
___________________________________________________________________________
Tự hào là thành viên của
VMF
#817
Posted 01-07-2012 - 19:58
Bài 404. Cho $x,y,z>0$ thõa mãn $x+y+z=2012.$ . Chứng ming rằng $\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geqslant 2012$
Edited by Ispectorgadget, 01-07-2012 - 22:42.
- tkvn 97-
#818
Posted 01-07-2012 - 22:45
Dễ dàng chứng minh được $\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq \frac{(x+y)}{2}$ bằng cách biến đổi tương đương hoặc dùng BĐT ChebishevBài 404. Cho $x,y,z>0$ thõa mãn $x+y+z=2012.$ . Chứng ming rằng $\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geqslant 2012$
Thiết lập tương tự và cộng lại ta có điều phải chứng minh.
- BlackSelena, ducthinh26032011 and davildark like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#819
Posted 02-07-2012 - 09:44
Bài 404 . Với các số a , b , c thõa mãn điều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng :
$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}+\frac{c}{(ca+a+1)^{2}} \geqslant \frac{1}{a+b+c}$
Edited by TRUNGKIEN1997, 02-07-2012 - 09:44.
- tkvn 97-
#820
Posted 02-07-2012 - 10:13
Theo C.S:Bài 404 . Với các số a , b , c thõa mãn điều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng :
$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}+\frac{c}{(ca+a+1)^{2}} \geqslant \frac{1}{a+b+c}$
$\sum a.\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq (\sum \frac{a}{ab+a+1})^{2}= 1$
Đ.P.C.M
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users