Chủ đề này có 1115 trả lời

[Secrets In Inequalities VP]

Bài 468: Cho 3 số dương x,y,z có x+y+z=1. Chứng minh:
$\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

Bài này số xấu làm lằng nhằng qá
Ta có : $\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}= \frac{1+\sqrt{x}}{1-x}= \frac{1}{1-\sqrt{x}}= \frac{1}{1-\frac{x}{2\sqrt{x.\frac{1}{3}}}.\frac{2}{\sqrt{3}}}\geq \frac{1}{1-\frac{x}{x+\frac{1}{3}}.\frac{2}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{3x+1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}$
Vậy ta chỉ cần CM :
$\sum \frac{3x+1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{3x}{3x+1-2\sqrt{3}.x}+\sum \frac{1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
Ta có :
$\sum \frac{3x}{3x+1-2\sqrt{3}.x}= \sum \frac{3x^{2}}{3x^{2}+x-2\sqrt{3}x^{2}}\geq \frac{3(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)-(2\sqrt{3}-3)(x^{2}+y^2+z^2)}$
$\geq \frac{3}{1-(2\sqrt{3}-3)\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}= \frac{3}{1-(2\sqrt{3}-3).\frac{1}{3}}= \frac{9}{6-2\sqrt{3}}$
Và :
$\sum \frac{1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}\geq \frac{9}{3(x+y+z)+3-2\sqrt{3}(x+y+z)}= \frac{9}{6-2\sqrt{3}}$
Vậy ;
$VT\geq \frac{9}{6-2\sqrt{3}}+\frac{9}{6-2\sqrt{3}}= \frac{9}{3-\sqrt{3}}= \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
( trục căn thúc )

[davildark]

Lạ nhỉ,phần này mình biến đổi <=> ra là $\sqrt{3}x+2\sqrt{x}-\sqrt{3}\geq 0$
Đến đây sao làm tiếp hả bạn

Mình nhầm sau khi nhờ sư trợ giúp ta sẽ CM như sau
$$2x(1-x)^2=2x(1-x)(1-x)\leq \frac{8}{27}\Rightarrow \sqrt{x}(1-x)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$$
$$\frac{\sqrt{x}}{1-x}=\frac{x}{\sqrt{x}(1-x)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x$$
Làm tương tự cộng lại ta có Q.E.D

[Ispectorgadget]

Bài 469: Cho $a,b,c$ Cho $a,b,c$ là 3 cạnh một tam giác còn $x,y,z$ là 3 số thực thỏa mãn $ax+by+cz=0$. Chứng minh rằng $xy+xz+yz\leq 0$

[henry0905]

Bài 470: Cho a,b,c>0. Chứng minh:
$\frac{1}{6}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})^{2}\geq \sum \frac{1}{a^{4}+b^{2}c^{2}}$

[triethuynhmath]

Bài 470: Cho a,b,c>0. Chứng minh:
$\frac{1}{6}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})^{2}\geq \sum \frac{1}{a^{4}+b^{2}c^{2}}$

Chém luôn bài này:
Áp dụng BĐT Cauchy,ta có:
$\sum \frac{1}{a^4+b^2c^2}\leq \sum \frac{1}{2a^2bc}=\frac{1}{2abc}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
Áp dụng BĐT $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$,ta có:
$\frac{3}{abc}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq (\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})^2$
$=>\sum \frac{1}{a^4+b^2c^2}\leq \frac{1}{2abc}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq \frac{1}{6}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})^2(Q.E.D)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 21-07-2012 - 22:20

[Beautifulsunrise]

Bài 471. Cho $0\leq a,~b,~c\leq 1$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 1+a^2b+b^2c+c^2a $

[ninhxa]

Bài 471. Cho $0\leq a,~b,~c\leq 1$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 1+a^2b+b^2c+c^2a $

-Do $0\leq a,b,c\leq 1\to \left\{\begin{matrix}abc\geq 0 \\ a\geq a^2 \\ b\geq b^2 \\ c\geq c^2 \end{matrix}\right.$
-Do đó:
$VP\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1-abc$
-Lại có:
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1-abc-a^2-b^2-c^2=(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)\geq 0$
(do $0\leq a,b,c\leq 1$)
$\rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 23-07-2012 - 09:43

[ntm1406]

Bài 472: Tìm GTLN của P = ($a+b+c$)($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$) với a,b,c là các số dương thỏa mãn $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$

[viet 1846]

\[ineq \Leftrightarrow f\left( a \right) = \left( {1 - b} \right){a^2} - {c^2}a + {b^2} + {c^2} - 1 - {b^2}c \le 0\]

$f(a)$ là hàm bậc hai có hệ số $1-b\ge 0$

Nên $M{\rm{ax}}f(a) = m{\rm{ax}}\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 1 \right)} \right\}$

\[f(0) = {b^2} + {c^2} - 1 - {b^2}c \le 0\]

$f(1)\le 0$ dpcm

[triethuynhmath]

Bài 472: Tìm GTLN của P = ($a+b+c$)($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$) với a,b,c là các số dương thỏa mãn $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$

$P=3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$Từ giả thiết $=> \frac{1}{2}\leq \frac{a}{c}\leq 2$
$=>(\frac{a}{c}-\frac{1}{2})(2-\frac{a}{c})\geq 0=>\frac{a^2}{c^2}+1\leq \frac{5a}{2c}$
$=>\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2}$
Mặt khác do $a\leq b\leq c$ $=> \frac{a}{b},\frac{b}{c}\leq 1,\frac{b}{a},\frac{c}{b}\geq 1=>(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c}),(\frac{b}{a}-1)(\frac{c}{b}-1)\geq 0=>(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}-1)(\frac{c}{b}-1)\geq 0=> \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\leq 2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leq \frac{9}{2}(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2})$
$=>P\leq 10$
Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a=1 \\ b=c=2 \\ \end{matrix}\right.(Q.E.D)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 23-07-2012 - 20:50

[tkvn97]

Bài 473 . Cho a , b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng : $\frac{a}{bc(b+c)}+\frac{b}{ac(a+c)}+\frac{c}{ab(a+b)}\geq \frac{3}{2\sqrt[6]{abc}}$

[yeutoan11]

Bài 473 . Cho a , b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng : $\frac{a}{bc(b+c)}+\frac{b}{ac(a+c)}+\frac{c}{ab(a+b)}\geq \frac{3}{2\sqrt[6]{abc}}$

$\frac{3}{2\sqrt[3]{(abc)^2}}$ chứ ta

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 23-07-2012 - 19:24

[WhjteShadow]

$\frac{3}{2\sqrt[3]{(abc)^2}}$ chứ ta

Mình làm bài này nếu đề là $\frac{3}{2\sqrt[3]{(abc)^2}}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ và $AM-GM$ ta có:
$\frac{a}{bc(b+c)}+\frac{b}{ac(a+c)}+\frac{c}{ab(a+b)}=\frac{a^2}{abc(b+c)}+\frac{b^2}{abc(a+c)}+\frac{c^2}{abc(a+b)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2abc(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2abc}\geq \frac{3}{2\sqrt[3]{(abc)^2}}$

[le_hoang1995]

Mình làm bài này nếu đề là $\frac{3}{2\sqrt[3]{(abc)^2}}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ và $AM-GM$ ta có:
$\frac{a}{bc(b+c)}+\frac{b}{ac(a+c)}+\frac{c}{ab(a+b)}=\frac{a^2}{abc(b+c)}+\frac{b^2}{abc(a+c)}+\frac{c^2}{abc(a+b)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2abc(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2abc}\geq \frac{3}{2\sqrt[3]{(abc)^2}}$

Bổ sung thêm một cách nữa nhé, dạng của nó khiến ta nghĩ đến BĐT Chebusep.

Không mất tổng quát, giả sử $ a \ge b \ge c$, khi đó cách bộ sau đơn điệu cùng chiều

$\left ( \frac{a}{b+c};\frac{b}{c+a};\frac{c}{a+b} \right )$ và $\left ( \frac{1}{bc};\frac{1}{ca};\frac{1}{ab} \right )$

Theo BĐT Chebusep và Nesbit
$$\frac{a}{bc(b+c)}+\frac{b}{ac(a+c)}+\frac{c}{ab(a+b)}\geq \frac{1}{3}.\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right ).\left ( \frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab} \right )\geq \frac{1}{3}.\frac{3}{2}.\frac{3}{\sqrt[3]{(abc)^2}}=\frac{3}{2\sqrt[3]{(abc)^2}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 23-07-2012 - 20:16

[ntm1406]

Bài 474: Cho các số dương a, b, c, d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$. CMR: $abcd\leq \frac{1}{81}$

[bastian schweinsteiger]

Bài 474: Cho các số dương a, b, c, d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$. CMR: $abcd\leq \frac{1}{81}$

$1\geq \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\Rightarrow \frac{1}{1+a}\geq \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}$
Tương tự $\frac{1}{1+b}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{(1+a)(1+c)(1+d)}}$
$\frac{1}{1+c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abd}{(1+a)(1+b)(1+d)}}$
$\frac{1}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$
nhân vế theo vế suy ra dpcm

[Tru09]

Bài 474: Cho các số dương a, b, c, d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$. CMR: $abcd\leq \frac{1}{81}$

ta có :
GT $\rightarrow \frac{b}{b+1} +\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d} \leq 1-\frac{a}{a+1} =\frac{1}{a+1}$
Áp dụng BDT cosy $\rightarrow \frac{1}{a+1} \geq \frac{b}{b+1} +\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d} \geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$
tương tự rồi nhân lại với nhau$\rightarrow 1 \geq 81abcd \rightarrow DPCM$

[triethuynhmath]

Bài 474: Cho các số dương a, b, c, d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$. CMR: $abcd\leq \frac{1}{81}$

Chém luôn bài này.
từ giả thiết
$\Rightarrow \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1-\frac{a}{1+a}=\frac{1}{1+a}$
ÁP dụng BĐT cauchy cho 3 số,ta được:
$\Rightarrow \frac{1}{1+a}\geq \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}$
Chứng minh tương tự,ta được:
$ \frac{1}{1+b}\geq \frac{a}{1+a}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{(1+a)(1+c)(1+d)}}$
$\frac{1}{1+c}\geq \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{d}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abd}{(1+a)(1+b)(1+d)}}$
$\frac{1}{1+d}\geq \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$
Nhân vế theo vế,ta được:
$\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}\geq 81\frac{abcd}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}=>abcd\leq \frac{1}{81}(Q.E.D)$

[BoFaKe]

$P=3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$Từ giả thiết $=> \frac{1}{2}\leq \frac{a}{c}\leq 2$
$=>(\frac{a}{c}-\frac{1}{2})(2-\frac{a}{c})\geq 0=>\frac{a^2}{c^2}+1\leq \frac{5a}{2c}$
$=>\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2}$
Mặt khác do $a\leq b\leq c$ $=> \frac{a}{b},\frac{b}{c}\leq 1,\frac{b}{a},\frac{c}{b}\geq 1=>(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c}),(\frac{b}{a}-1)(\frac{c}{a}-1)\geq 0=>(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}-1)(\frac{c}{a}-1)\geq 0=> \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\leq 2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leq \frac{9}{2}(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2})$
$=>P\leq 10$
Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a=1 \\ b=c=2 \\ \end{matrix}\right.(Q.E.D)$

Đối với bài như thế này mình còn có cách khác,ở đây có sắp xếp thứ tự biến nên cách mình hơi lệch 1 chút (không biết đúng không ):giả sử $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}$(nếu không đúng thì chiều ngược lại cũng không sao,như nhau cả)
sau đó phân tích ra thì ta phải chứng minh:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\leq 7$
Xét các tích
$(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})(1-\frac{c}{a})\leq 0$
$(2-\frac{a}{b})(2-\frac{b}{c})(2-\frac{c}{a})\geq 0$
rồi cộng lại kết hợp điều giả sử ta sẽ có đpcm.
(Bài này ngày trước mình làm mất gần tháng mới ra cách này )

[BoFaKe]

$P=3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$Từ giả thiết $=> \frac{1}{2}\leq \frac{a}{c}\leq 2$
$=>(\frac{a}{c}-\frac{1}{2})(2-\frac{a}{c})\geq 0=>\frac{a^2}{c^2}+1\leq \frac{5a}{2c}$
$=>\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2}$
Mặt khác do $a\leq b\leq c$ $=> \frac{a}{b},\frac{b}{c}\leq 1,\frac{b}{a},\frac{c}{b}\geq 1=>(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c}),(\frac{b}{a}-1)(\frac{c}{a}-1)\geq 0=>(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}-1)(\frac{c}{a}-1)\geq 0=> \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\leq 2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leq \frac{9}{2}(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2})$
$=>P\leq 10$
Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a=1 \\ b=c=2 \\ \end{matrix}\right.(Q.E.D)$

Hình như dấu bằng còn thiếu 1TH thì phải (1;1;2) phải không?