Topic bất đẳng thức THCS (2)
#121
Posted 13-01-2012 - 21:53
Tìm GTNN của biểu thức :
\[T = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]
Trong đó a,b,c là các số thực khác 0.
Đây là bài toán tổng quát:
Tìm GTNN của biểu thức
\[T = \frac{{{a_1}^2}}{{{a_1}^2 + {{\left( {S - {a_1}} \right)}^2}}} + \frac{{{b_1}^2}}{{{b_1}^2 + {{\left( {S - {a_2}} \right)}^2}}} + ... + \frac{{{c_1}^2}}{{{c_1}^2 + {{\left( {S - {a_n}} \right)}^2}}}\]
Trong đó: \[S = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\left\{ {{a_1},{a_2},...,{a_n} \ne 0;n \ge 3} \right\}\]
- Cao Xuân Huy likes this
Tra cứu công thức toán trên diễn đàn
Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF
Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ
______________________________________________________________________________________________
- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm
- Đời chuyển ... Em xoay
Đời cay ... Em đắng
#122
Posted 13-01-2012 - 22:12
$$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{\left( {a + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{\left( {a + b} \right)}^3}}}} \ge 1$$
Bài này đã có bên topic bất đẳng thức của anh Tường nhưng mình post lại và các bạn hãy cố gắng kiếm lời giải khác nhé
Edited by Cao Xuân Huy, 13-01-2012 - 22:13.
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#123
Posted 14-01-2012 - 09:56
$T=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2+2cb}+\frac{b^2}{b^2+c^2+a^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+a^2+b^2+c^2+2ab}$Bài 61:
Tìm GTNN của biểu thức :
\[T = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]
Trong đó a,b,c là các số thực khác 0.
$T\geq\frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}+\frac{b^2}{b^2+2(a^2+c^2)}+\frac{c^2}{c^2+2(a^2+b^2)}$
Để đơn giản ta đặt $x=a^2;y=b^2;z=c^2$ $(x,y,z\geq 0)$
$T\geq \frac{x}{x+2(y+z)}+\frac{y}{y+2(x+z)}+\frac{z}{z+2(x+y)}=\frac{x^2}{x^2+2(yx+zx)}+\frac{y^2}{y^2+2(yx+yz)}+\frac{z^2}{z^2+2(xz+yz)}$
Áp dụng BĐT Schwarz ta có
$T\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+4(xy+xz+yz)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{2(x+y+z)^2}{3}}=\frac{3}{5}$
Vậy T min = $\frac{3}{5}$ dấu "=" xảy ra khi x=y=z hay a=b=c
Edited by Ispectorgadget, 14-01-2012 - 11:34.
- Zaraki, Cao Xuân Huy and Mai Duc Khai like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#124
Posted 14-01-2012 - 11:29
Cho x,y,z là 3 số thực khác 0
Tìm GTNN của biểu thức
$$D = \frac{{x^2 }}{{(x + y)(y + z)}} + \frac{{y^2 }}{{(y + z)(x + z)}} + \frac{{z^2 }}{{(x + y)(x + z)}}$$
Mới chế sáng nay nói chung ý tưởng xuất phát từ những bài toán quen thuộc
Edited by Cao Xuân Huy, 14-01-2012 - 13:13.
- Zaraki, Cao Xuân Huy, HÀ QUỐC ĐẠT and 1 other like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#125
Posted 14-01-2012 - 13:47
Chứng minh rằng:\[\sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {{x_i}^2 + \frac{1}{{{x_i}^2}}} } \ge \left( {n + \frac{1}{n}} \right).\sqrt {{n^2} + \frac{1}{{{n^2}}}} .\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{x_i}}}{{1 + {x_i}^2}}} } \right)\]
- perfectstrong, Zaraki and Cao Xuân Huy like this
Tra cứu công thức toán trên diễn đàn
Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF
Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ
______________________________________________________________________________________________
- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm
- Đời chuyển ... Em xoay
Đời cay ... Em đắng
#126
Posted 14-01-2012 - 16:49
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:Bài 63:
Cho x,y,z là 3 số thực khác 0
Tìm GTNN của biểu thức
$$D = \frac{{x^2 }}{{(x + y)(y + z)}} + \frac{{y^2 }}{{(y + z)(x + z)}} + \frac{{z^2 }}{{(x + y)(x + z)}}$$
Mới chế sáng nay nói chung ý tưởng xuất phát từ những bài toán quen thuộc
VT$\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{4(x+y+z)^{2}}{3}}= \frac{3}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z
- perfectstrong, Ispectorgadget, Zaraki and 2 others like this
#127
Posted 14-01-2012 - 16:56
- cvp, Ispectorgadget, Cao Xuân Huy and 1 other like this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#128
Posted 14-01-2012 - 16:59
Bài 65: Cho $a,\,b,\,c$ là các số không âm. Chứng minh rằng $$\sqrt[3]{1+c^3}+\sqrt[3]{1+b^3}+\sqrt[3]{1+c^3}\geq \sqrt[3]{27+(a+b+c)^3}$$
áp dụng BĐT Minkowsky ta có
$VT\geq \sqrt[3]{(1+1+1)^3+(a+b+c)^3}=\sqrt[3]{27+(a+b+c)^3}$ (đpcm)
- cvp, perfectstrong, Cao Xuân Huy and 2 others like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#129
Posted 14-01-2012 - 17:47
Bài 66:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2} $
Edited by HÀ QUỐC ĐẠT, 14-01-2012 - 17:50.
- perfectstrong, Ispectorgadget, Cao Xuân Huy and 1 other like this
#130
Posted 14-01-2012 - 19:04
Bài 67: Cho a,b,c>0. chứng minh ${a^b} + {b^a} > 1$
______________________________________________
Bạn nhớ đánh số thứ tự rõ ràng nhé. Lần này mình sửa còn lần sau sẽ xóa bài đấy
Edited by Cao Xuân Huy, 14-01-2012 - 20:18.
#131
Posted 14-01-2012 - 20:15
Mọi người đánh số bài vào đi nhé!!!topic này sôi nổi quá, các bác cho mình tham gia nhá. góp cho 1 bài
Cho a,b,c>0. chứng minh ${a^b} + {b^a} > 1$
Nếu $a\geq 1$ hay $b\geq 1$ thì BĐT trên đúng
Nếu $a,b\in (0;1)$
Áp dụng BĐT Bernoulli
$(\frac{1}{a})^b=(1+\frac{1-a}{a})^b< 1+\frac{b(1-a)}{a}<\frac{a+b}{a}$
$\Rightarrow a^b>\frac{a}{a+b}$
CMTT ta có $b^a>\frac{b}{a+b}$
$\Rightarrow a^b+b^a>1$
Edited by Ispectorgadget, 14-01-2012 - 20:24.
- perfectstrong, Cao Xuân Huy, HÀ QUỐC ĐẠT and 1 other like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#132
Posted 14-01-2012 - 21:33
Đề TS lớp 10 trường PTNK - ĐHQG TPHCM
Bài 69: Cho x,y,z là các số dương thoả mãn $x^3+y^3+z^3=1$
CMR: $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\geq 2$
Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên toán chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM - 2004
Bài 70: Cho x,y,z >2 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$
CMR: $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 1$
Chuyên Lam Sơn Thanh Hoá 2005-2006
Bài 71: Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn ab=cd=1
CMR: $(a+b)(c+d)+4\geq 2(a+b+c+d)$
Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên trường PTNK ĐHQG TPHCM - 2007
Mới tìm được 1 số bài trong các đề tuyển sinh mọi người làm nhé
Edited by Ispectorgadget, 15-01-2012 - 16:25.
- vietfrog and Cao Xuân Huy like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#133
Posted 14-01-2012 - 21:38
\[VT = \frac{1}{2}.2xy({x^2} + {y^2}) \le \frac{{{{({x^2} + {y^2} + 2xy)}^2}}}{8} = \frac{{{2^4}}}{8} = 2\]Bài 68: Cho x,y là các số thực dương thoả mãn $x+y=2$. CMR $xy(x^2+y^2)\leq 2$
Đề TS lớp 10 trường PTNK - ĐHQG TPHCM
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$.
________________________________________
Tối nay em xử tiếp
- perfectstrong, Ispectorgadget, Mai Duc Khai and 2 others like this
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#134
Posted 15-01-2012 - 15:23
$ab = cd = 1 => b = \dfrac{1}{a} , d = \dfrac{1}{c}$ thay vào, bđt cần cm $<=> (a + \dfrac{1}{a})(c + \dfrac{1}{c}) + 4\ge 2(a + \dfrac{1}{a} ) + 2(c + \dfrac{1}{c}) <=> (a + \dfrac{1}{a})(c + \dfrac{1}{c} - 2) -2(c + \dfrac{1}{c} - 2) \ge 0 $Bài 71: Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn ab=cd=1
CMR: $(a+b)(c+d)+4\geq 2(a+b+c+d)$
Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên trường PTNK ĐHQG TPHCM - 2007
$<=> (a + \dfrac{1}{a})(\dfrac{(c - 1)^2}{c} - 2\dfrac{(c - 1)^2}{c} \ge 0 <=> \dfrac{(a - 1)^2}{a}.\dfrac{(c - 1)^2}{c} \ge 0$ bđt đã được chứng minh.
Edited by huymit_95, 15-01-2012 - 16:00.
- perfectstrong, Ispectorgadget, HÀ QUỐC ĐẠT and 2 others like this
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#135
Posted 15-01-2012 - 16:22
$$\dfrac{1}{x} = \dfrac{y - 2}{y} + \dfrac{z - 2}{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{(y - 2)(z - 2)}{4yz}}$$ tương tự với các phần khác, nhân vế theo vế suy ra đpcm.Bài 70: Cho x,y,z >2 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$
CMR: $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 1$
Chuyên Lam Sơn Thanh Hoá 2005-2006
Edited by huynhmylinh, 20-05-2012 - 21:02.
- perfectstrong, Ispectorgadget and Mai Duc Khai like this
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#136
Posted 15-01-2012 - 16:33
Ta có:Bài 69: Cho x,y,z là các số dương thoả mãn $x^3+y^3+z^3=1$
CMR: $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\geq 2$
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{x^3}}}{{x\sqrt {1 - {x^2}} }}} \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{{2{x^3}}}{{{x^2} + 1 - {x^2}}}} = 2({x^3} + {y^3} + {z^3}) = 2\]
Vậy ta có ĐPCM.
Dấu "=" không xảy ra
- perfectstrong, Ispectorgadget, Mai Duc Khai and 1 other like this
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#137
Posted 15-01-2012 - 16:40
CMR: $x^2+y^2+z^2\geq 3$
ĐTTS lớp 10 ĐHKHTN - ĐHQGHN
Bài 73: Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR
$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Đề lớp 10 chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội 2003-2004
- Cao Xuân Huy and Mai Duc Khai like this
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#138
Posted 15-01-2012 - 16:46
ta có $$\dfrac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \dfrac{x^3}{x\sqrt{1 - x^2}}$$ Lại có $x\sqrt{1 - x^2} \le \dfrac{x^2 + 1 - x^2}{2} = \dfrac{1}{2} => \dfrac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \le 2x^3 => P \le 2(x^3 + y^3 + z^3) = 2$$ nhưng mình thắc mắc là tại sao , với cách này, dâu = chẳng xảy ra ? hay là đề bài có vấn đề ? Nhờ bạn xem lại,CMR: $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\geq 2$
Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên toán chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM - 2004
Edited by huymit_95, 15-01-2012 - 16:50.
- perfectstrong and vuhoangminh97 like this
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#139
Posted 15-01-2012 - 16:53
Bài 72:Bài 72: Cho các số thực x,y,z thoả mãn $x+y+z+xy+xz+yz=6$
CMR: $x^2+y^2+z^2\geq 3$
ĐTTS lớp 10 ĐHKHTN - ĐHQGHN
Bài 73: Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR
$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Đề lớp 10 chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội 2003-2004
Ta có:
$\sum\limits_{cyc} {{x^2} + 1} \ge \sum\limits_{cyc} {2x} \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 2(x + y + z) - 3$
$2({x^2} + {y^2} + {z^2}) \ge 2(xy + xz + yz)$
Cộng theo vế ta có ĐPCM
Bài 73:
$2.VT = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}}} \right)} \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{4}{{2b}}} = \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} \Rightarrow $ ĐPCM
Edited by Cao Xuân Huy, 15-01-2012 - 17:02.
- perfectstrong, Ispectorgadget, Poseidont and 1 other like this
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#140
Posted 15-01-2012 - 16:53
bài 72Bài 72: Cho các số thực x,y,z thoả mãn $x+y+z+xy+xz+yz=6$
CMR: $x^2+y^2+z^2\geq 3$
ĐTTS lớp 10 ĐHKHTN - ĐHQGHN
Bài 73: Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR
$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Đề lớp 10 chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội 2003-2004
$x^2 + 1 + y^2 + 1 + z^2 + 1 + 2(x^2 + y^2 + z^2) \ge 2(x + y + z) + 2(xy + yz + zx) = 12 => x^2 + y^2 + z^2 \ge 3$
73. sử dụng $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x + y}$
Edited by huynhmylinh, 20-05-2012 - 21:04.
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users