Không biết đúng không, nếu sai thì mọi người chỉ lỗi sai giùm mình nhé !
Nhận xét rằng $x^{3}\equiv 0;1;8(mod9)$
- TH1 : $p+q=(p-q)^{3}\equiv 0(mod9)\Rightarrow p+q\equiv 0(mod3)$
Do đó xảy ra các khả năng :
- Hai số $p,q$ đều chia hết cho 3 $\Rightarrow p=q=3$ (thử lại không thỏa mãn)
- Hai số $p,q$ có một số chia 3 dư 1, số còn lại chia 3 dư 2.
Nếu $\left\{\begin{matrix} p\equiv 2(mod3) & & \\ q\equiv 1(mod3) & & \end{matrix}\right.\Rightarrow p-q\equiv 1(mod3)\Rightarrow (p-q)^{3}\equiv 1(mod9)$ (vô lí)
Nếu $\left\{\begin{matrix} p\equiv 1(mod3) & & \\ q\equiv 2(mod3)& & \end{matrix}\right.\Rightarrow (p-q)^{3}\equiv 8(mod9)$ (vô lí)
- TH2 : $p+q=(p-q)^{3}\equiv 1(mod9)\Rightarrow p+q\equiv 1(mod3)$
Do đó xảy ra các khả năng :
- Hai số $p,q$ thì một số chia hết cho 3, số kia chia 3 dư 1.
Nếu $p\equiv 0(mod3);q\equiv 1(mod3)\Rightarrow p=3\Rightarrow q=2\Rightarrow q\equiv 2(mod3)$ (vô lí)
Nếu $q\equiv 0(mod3);p\equiv 1(mod3)\Rightarrow q=3\Rightarrow p=5\Rightarrow p\equiv 2(mod3)$ (vô lí)
- Hai số $p,q$ đều chia 3 dư 2.
$p\equiv 2(mod3);q\equiv 2(mod3)\Rightarrow (p-q)^{3}\equiv 0(mod9)$ (vô lí)
- TH3 : $p+q=(p-q)^{3}\equiv 8(mod9)\Rightarrow p+q\equiv 2(mod3)$
Do đó xảy ra các khả năng :
- Hai số $p,q$ đều chia 3 dư 1 : $p\equiv 1(mod3);q\equiv 1(mod3)\Rightarrow (p-q)^{3}\equiv 0(mod9)$ (vô lí)
- Hai số $p,q$ thì một số chia hết cho 3, số kia chia 3 dư 2.
Nếu $p\equiv 0(mod3);q\equiv 2(mod3)\Rightarrow p=3$ mà $p>q\Rightarrow q=2$. Thử lại không thỏa mãn
Nếu $p\equiv 2(mod3);q\equiv0 (mod3)\Rightarrow q=3\Rightarrow p=5$ (thỏa mãn)
Vậy : (p ; q) = (5 ; 3)