1 reply to this topic

[Crystal]

Bài toán: Tính tích phân xác định sau $$I=\int_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}\dfrac{sin^{2012}x+cos^{2}x}{1+sin^{2012}x+cos^{2012}x}dx$$

[dark templar]

Bài toán: Tính tích phân xác định sau $$I=\int_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}\dfrac{sin^{2012}x+cos^{2}x}{1+sin^{2012}x+cos^{2012}x}dx$$

Bài này không khó Sử dụng tính chất sau:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$
Ta có:
$$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{(\sin^{2012}{x}+\cos^2{x})dx}{1+\sin^{2012}{x}+\cos^{2012}{x}}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{(\cos^{2012}{x}+\sin^2{x})dx}{1+\sin^{2012}{x}+\cos^{2012}{x}}}$$
Suy ra:
$$2I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{(\sin^2{x}+\cos^2{x}+\sin^{2012}{x}+\cos^{2012}{x})dx}{1+\sin^{2012}{x}+\cos^{2012}{x}}}=x\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$$
$$\Rightarrow I=\frac{\pi}{4}$$.
P/s:Em rảnh rỗi,ngồi lục mấy topic của anh,thấy có nhiều bài cũng hay