\[K = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^4}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + {a^2}}}\]
P/s: Các bạn THCS giải quyết nhé!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 06-01-2012 - 13:44
Min \[K = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^4}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + {a^2}}}\]
Bắt đầu bởi vietfrog, 06-01-2012 - 13:43
#1
Đã gửi 06-01-2012 - 13:43
vietfrog
-
- Hiệp sỹ
-
- 947 Bài viết
Trung úy
Cho $a,b,c > 0$ và $a + b+c = 2012$. Tìm GTNN của
\[K = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^4}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + {a^2}}}\]
P/s: Các bạn THCS giải quyết nhé!
\[K = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^4}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + {a^2}}}\]
P/s: Các bạn THCS giải quyết nhé!
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#2
Đã gửi 06-01-2012 - 13:49
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Ta có: $\dfrac{a^4}{a^2+b^2}=a^2-\dfrac{a^2.b^2}{a^2+b^2}\geq a^2-\dfrac{a^2b^2}{2ab}=a^2-\dfrac{ab}{2}$ (1)
CMTT ta cũng có: $\dfrac{b^4}{b^2+c^2}\geq b^2-\dfrac{bc}{2}$ (2)
$\dfrac{c^4}{a^2+c^2}\geq c^2-\dfrac{ac}{2}$ (3)
Cộng (1)(2)(3) ta có : $K\geq a^2+b^2+c^2-\dfrac{ab+bc+ac}{2}$
Sử dụng BĐT quen thuộc sau: $a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$; $ab+bc+ac\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$
Do đó: $K\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}-\dfrac{(a+b+c)^2}{6}=\dfrac{2012^2}{3}-\dfrac{2012^2}{6}=\dfrac{2024072}{3}$
Vậy K min = $\dfrac{2024072}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi
$\left\{ \begin{array}{l}
a = b = c \\
a + b + c = 2012\\
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{{2012}}{3}$
CMTT ta cũng có: $\dfrac{b^4}{b^2+c^2}\geq b^2-\dfrac{bc}{2}$ (2)
$\dfrac{c^4}{a^2+c^2}\geq c^2-\dfrac{ac}{2}$ (3)
Cộng (1)(2)(3) ta có : $K\geq a^2+b^2+c^2-\dfrac{ab+bc+ac}{2}$
Sử dụng BĐT quen thuộc sau: $a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$; $ab+bc+ac\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$
Do đó: $K\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}-\dfrac{(a+b+c)^2}{6}=\dfrac{2012^2}{3}-\dfrac{2012^2}{6}=\dfrac{2024072}{3}$
Vậy K min = $\dfrac{2024072}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi
$\left\{ \begin{array}{l}
a = b = c \\
a + b + c = 2012\\
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{{2012}}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-01-2012 - 17:38
- vietfrog, Cao Xuân Huy, MyLoVeForYouNMT và 2 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#3
Đã gửi 06-01-2012 - 15:42
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
$$K \ge \dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{2(a^2 + b^2 + c^2)} = \dfrac{a^2 + b^2 + a^2}{2} \ge \dfrac{(a + b + c)^2}{6}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 06-01-2012 - 15:44
- Cao Xuân Huy và Mai Duc Khai thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#4
Đã gửi 06-01-2012 - 15:48
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
Bạn kiểm tra lại kết quả đi nhé. Đây là một bài toán dễ nhưng cũng nên cẩn thận trong bước cuối.Ta có: $\dfrac{a^4}{a^2+b^2}=a^2-\dfrac{a^2.b^2}{a^2+b^2}\geq a^2-\dfrac{a^2b^2}{2ab}=a^2-\dfrac{ab}{2}$ (1)
CMTT ta cũng có: $\dfrac{b^4}{b^2+c^2}\geq b^2-\dfrac{bc}{2}$ (2)
$\dfrac{c^4}{a^2+c^2}\geq c^2-\dfrac{ac}{2}$ (3)
Cộng (1)(2)(3) ta có : $K\geq a^2+b^2+c^2-\dfrac{ab+bc+ac}{2}$
Sử dụng BĐT quen thuộc sau: $a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$; $ab+bc+ac\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$
Do đó: $K\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}-\dfrac{(a+b+c)^2}{6}=\dfrac{2012^2}{3}-\dfrac{2012^2}{6}=\dfrac{1006}{3}$
Vậy K min = $\dfrac{1006}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi
$\left\{ \begin{array}{l}
a = b = c \\
a + b + c = 2012\\
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{{2012}}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 06-01-2012 - 15:48
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
