$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi moonlight0610: 09-01-2012 - 20:38
Cho a,b,c là các số nguyên dương và a+b=1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$
Bắt đầu bởi moonlight0610, 09-01-2012 - 20:10
#1
Đã gửi 09-01-2012 - 20:10
moonlight0610
-
- Thành viên
-
- 44 Bài viết
Binh nhất
Cho a,b,c là các số nguyên dương và a+b=1. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$
#2
Đã gửi 09-01-2012 - 20:37
phuc_90
-
- Thành viên
-
- 438 Bài viết
Sĩ quan
Hix ... thiệt là khổ. Mình tính sữa lại đề dùm bạn mà bạn đã sửa rồi.
Vậy mình làm luôn vậy @_^.
Ta có $ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}$
$=\dfrac{1}{2ab}+\left(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\right)$
$\geq \dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}}+\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}$
$\geq 2+\dfrac{4}{(a+b)^2} = 6$
Vậy mình làm luôn vậy @_^.
Ta có $ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}$
$=\dfrac{1}{2ab}+\left(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\right)$
$\geq \dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}}+\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}$
$\geq 2+\dfrac{4}{(a+b)^2} = 6$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 09-01-2012 - 20:44
- perfectstrong và moonlight0610 thích
#3
Đã gửi 09-01-2012 - 20:48
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Em thử giải xem sao
$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{1-2ab}+\dfrac{1}{2ab}\geq \dfrac{4}{2ab+1-2ab}+\dfrac{1}{2ab}=4+\dfrac{1}{2ab}$ <1>
Lại thấy $\dfrac{1}{2ab}\geq \dfrac{1}{\dfrac{(a+b)^2}{2}}=2$ <2> do vậy suy ra $đpcm$ (kết hợp <1> , <2>)
Dấu $"="$ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{1-2ab}+\dfrac{1}{2ab}\geq \dfrac{4}{2ab+1-2ab}+\dfrac{1}{2ab}=4+\dfrac{1}{2ab}$ <1>
Lại thấy $\dfrac{1}{2ab}\geq \dfrac{1}{\dfrac{(a+b)^2}{2}}=2$ <2> do vậy suy ra $đpcm$ (kết hợp <1> , <2>)
Dấu $"="$ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 09-01-2012 - 21:39
- perfectstrong yêu thích
#4
Đã gửi 09-01-2012 - 20:53
Mai Duc Khai
-
- Thành viên
-
- 617 Bài viết
Thiếu úy
Bài này là ok rồi!Hix ... thiệt là khổ. Mình tính sữa lại đề dùm bạn mà bạn đã sửa rồi.
Vậy mình làm luôn vậy @_^.
Ta có $ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}$
$=\dfrac{1}{2ab}+\left(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\right)$
$\geq \dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}}+\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}$
$\geq 2+\dfrac{4}{(a+b)^2} = 6$
Mình cho bài tương tự:
Cho $a,b>0$ $a+b=1$. chứng minh:
\[\frac{2}{{ab}} + \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 14\]
- cvp và perfectstrong thích
Tra cứu công thức toán trên diễn đàn
Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF
Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ
______________________________________________________________________________________________
- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm
- Đời chuyển ... Em xoay
Đời cay ... Em đắng
#5
Đã gửi 09-01-2012 - 21:05
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Em thử giải xem sao
$\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2}=\dfrac{3}{2ab}+\dfrac{3}{1-2ab}+\dfrac{1}{2ab}\geq 3\dfrac{4}{2ab+1-2ab}+\dfrac{1}{2ab}=12+\dfrac{1}{2ab}$ <1>
Lại thấy $\dfrac{1}{2ab}\geq \dfrac{1}{\dfrac{(a+b)^2}{2}}=2$ <2> do vậy suy ra $đpcm$ (kết hợp <1> , <2>)
Dấu $"="$ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2}=\dfrac{3}{2ab}+\dfrac{3}{1-2ab}+\dfrac{1}{2ab}\geq 3\dfrac{4}{2ab+1-2ab}+\dfrac{1}{2ab}=12+\dfrac{1}{2ab}$ <1>
Lại thấy $\dfrac{1}{2ab}\geq \dfrac{1}{\dfrac{(a+b)^2}{2}}=2$ <2> do vậy suy ra $đpcm$ (kết hợp <1> , <2>)
Dấu $"="$ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$
- perfectstrong yêu thích
#6
Đã gửi 09-01-2012 - 21:11
phuc_90
-
- Thành viên
-
- 438 Bài viết
Sĩ quan
Hì ... đang có hứng nên mình xin phép làm nốt luôn @_^
Ta có $ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2}$
$=\dfrac{1}{2ab}+3\left(\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\right)$
$\geq \dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}}+\dfrac{3.4}{2ab+a^2+b^2}$
$= 2+12$
$=14$
Mấy bạn nhỏ giờ nhanh tay wa ... mình chậm mất rồi
Già rồi tay chân hết lanh lẹ ...hix..hix
P/s : Mod xóa mấy bài post này của mình dùm nhé.
Ta có $ab \leq \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2}$
$=\dfrac{1}{2ab}+3\left(\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\right)$
$\geq \dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}}+\dfrac{3.4}{2ab+a^2+b^2}$
$= 2+12$
$=14$
Mấy bạn nhỏ giờ nhanh tay wa ... mình chậm mất rồi
Già rồi tay chân hết lanh lẹ ...hix..hix
P/s : Mod xóa mấy bài post này của mình dùm nhé.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 09-01-2012 - 21:14
- perfectstrong yêu thích
#7
Đã gửi 09-01-2012 - 21:38
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Hì hì có sao đâu anh, bỏ qua đi. 
không được xóa bài anh phuc_90 vì cùng 1 bài mà em và anh có cách biến đổi khác nhau.
không được xóa bài anh phuc_90 vì cùng 1 bài mà em và anh có cách biến đổi khác nhau.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 09-01-2012 - 21:39
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
