Chủ đề này có 2 trả lời

[Poseidont]

Cho a,b,c.>0
chưng minh
$\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} +\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\geqslant \sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}$

[Cao Xuân Huy]

Đặt ${x^2} = \frac{1}{a};{y^2} = \frac{1}{b};{z^2} = \frac{1}{c}$
Ta có bđt tương đương:
$\sum {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \ge \sqrt 2 (x+y+z)$
Ta có:
\[\sum {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sum {\sqrt {{{(x + y)}^2}} } = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sum {x + y} = \frac{{2(x + y + z)}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 (x + y + z)\]
___________________________________________________

P/S: Mình viết ngắn gọn để còn đi học nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 10-01-2012 - 22:17

[Tham Lang]

áp dụng bunhia, ta có :
$$(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}).(1 + 1) \ge (\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}})^2 => \sqrt{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \ge \dfrac{1}{\sqrt{2a}} + \dfrac{1}{\sqrt{2b}}$$. làm tương tự với những số còn lại, cộng vế theo vế, suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 10-01-2012 - 17:40