Chủ đề này có 2 trả lời

[trannangdaiphu]

Cho x,y,z>0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant xyz$
Tìm max của: $P=\frac{x}{x^{2}+yz}+\frac{y}{y^{2}+zx}+\frac{z}{z^{2}+xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trannangdaiphu: 17-01-2012 - 22:05

[Ispectorgadget]

Cho x,y,z>0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant xyz$
Tìm max của: $P=\frac{x}{x^{2}+yz}+\frac{y}{y^{2}+zx}+\frac{z}{z^{2}+xy}$

Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}$ (x,y,z>0)
BĐT Đã cho $\Leftrightarrow \frac{abc}{bc+a^2}+\frac{abc}{ac+b^2}+\frac{abc}{c^2+ab}\leq \frac{abc}{2a\sqrt{bc}}+\frac{abc}{2b\sqrt{ac}}+\frac{abc}{2c\sqrt{ac}}$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc})$
Từ giả thiết ta có: $xyz\geq x^2+y^2+z^2\geq xy+xz+yz\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$
Quy đồng lên được $1\geq a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$
Do đó $P\leq \frac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =3 hay $x=y=z=\frac{1}{3}$

[Tham Lang]

Còn một cách nữa đó là $$\dfrac{x}{x^2 + yz} \le \dfrac{x}{2x\sqrt{yz}}$$ do đó, $A \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{xyz}} $. Áp dụng bunhia, ta cm $$\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \le \sqrt{3.\sqrt{3(x^2 + y^2 + z^2)}} \le \sqrt{xyz}$$ suy ra max = $\dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 22-01-2012 - 20:34