Đề bài
Trên mặt phẳng cho $2n+1$ đường thẳng $\left( {n \in {N^*}} \right)$.Chúng cắt nhau tạo thành tam giác.Chứng minh rằngSố tam giác nhọn tạo thành $ \le \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$
CMR:Số tam giác nhọn tạo thành $ \le \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$
Bắt đầu bởi alex_hoang, 26-01-2012 - 00:55
#1
Đã gửi 26-01-2012 - 00:55
alex_hoang
-
- Hiệp sỹ
-
- 1152 Bài viết
Thượng úy
#2
Đã gửi 26-01-2012 - 23:24
Peter Pan
-
- Thành viên
-
- 360 Bài viết
Sĩ quan
Gọi $F_n$ là số tam giác nhọn tạo thành trong $2n+1$ đường thẳng, ta có nhận xét rằng nếu một cát tuyến bất kì cắt $k$ đường thẳng đã cho thì sẽ tạo ra số góc tù bằng góc nhọn mà vì đường thẳng này cắt 2 đt bất kì lại tạo thành 1 tam giác do đó số tam giác nhọn tạo thành sẽ $\leq C_{[\frac{k}{2}]+1}^2$
Vậy nên xét $2(n+1)+1$ đường thẳng thì ta được $F_{n+1} \leq F_n+C_{n+1}^2+C_{n+2}^2=F_n+(n+1)^2$
suy ra: $F_n \leq 1+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ( vì $F_1\leq 1$)
Vậy nên xét $2(n+1)+1$ đường thẳng thì ta được $F_{n+1} \leq F_n+C_{n+1}^2+C_{n+2}^2=F_n+(n+1)^2$
suy ra: $F_n \leq 1+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ( vì $F_1\leq 1$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi winwave1995: 26-01-2012 - 23:27
\
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
