Chủ đề này có 1 trả lời

[conan1shini]

ai giúp em về định lí roll là như thế nao ạ và cách cm nó

[Crystal]

ai giúp em về định lí roll là như thế nao ạ và cách cm nó

Định lí Rolle:

Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right],\left( {a < b} \right)$ có đạo hàm trên khoảng $(a;b)$ và $f(a)=f(b)$ thì tồn tại $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f'\left( c \right) = 0$.

Chứng minh định lí Rolle phát biểu dưới dạng trên tương đối phức tạp. Thường ta phải sử dụng định lí Fermat. Tuy nhiên, ta có thể phát biểu lại định lí Rolle dưới dạng thu hẹp hơn. Khi đó việc chứng minh là đơn giản.

Định lí Rolle thu hẹp

Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right],\left( {a < b} \right)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $(a;b)$ và $f(a)=f(b)$ thì tồn tại $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f'\left( c \right) = 0$.

Chứng minh:

Giả sử không tồn tại $c \in \left( {a;b} \right)$ để $f'\left( c \right) = 0$, tức là $f'\left( x \right) \ne 0\,\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)$. Khi đó, do $f'\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {a;b} \right)$ nên $f'\left( x \right)$ không đổi dấu trên $\left( {a;b} \right)$.

Không giảm tính tổng quát, giả sử $f'\left( x \right) > 0\,\,\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)$. Mà $f(x)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ nên $f(x)$ đồng biến trên $\left[ {a;b} \right]$, suy ra $f\left( a \right) < f\left( b \right)$, trái với giả thiết $f\left( a \right) = f\left( b \right)$

Điều này chứng tỏ giả sử ban đầu của chúng ta là sai. Vậy tồn tại $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f'\left( c \right) = 0$. Bài toán đã được chứng minh.