Chủ đề này có 2 trả lời

[mimoza884010]

cho x,y,z> 0,xy+yz+zx=1.Cmr
$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+1}}\leq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-02-2012 - 21:02

[le_hoang1995]

Một cách làm không hay cho lắm, sử dụng BĐT bunhiacopxki (bạn cứ coi x,y,z như a,b,c nhé, mình gõ nhầm).

Đặt $P=\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\sum \frac{\sqrt{a(b+c)*a}}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$


Theo BĐT bunhiacopxki ta có

$P^2=\frac{[\sqrt{a(b+c)*a}+\sqrt{b(c+a)*b}+\sqrt{c(a+b)*c} ]^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{2(ab+bc+ca)(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$


Mà ta có $(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ca)(a+b+c)$

Suy ra $P^2\leq \frac{2*9}{8}=\frac{9}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{2}$

Dấu bằng khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 01-02-2012 - 20:39

[perfectstrong]

Cách giải trên nặng quá thì phải
Lời giải:
\[\begin{array}{l}
\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + xy + yz + xz} }} = \frac{x}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} \le \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{x + z}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + y}} + \frac{x}{{x + z}}} \right) \\
\Rightarrow \sum {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + y}} + \frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + x}} + \frac{y}{{y + z}} + \frac{z}{{z + x}} + \frac{z}{{z + y}}} \right) = \frac{3}{2} \\
\end{array}\]