Một cách làm không hay cho lắm, sử dụng BĐT bunhiacopxki (bạn cứ coi x,y,z như a,b,c nhé, mình gõ nhầm).
Đặt $P=\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\sum \frac{\sqrt{a(b+c)*a}}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
Theo BĐT bunhiacopxki ta có
$P^2=\frac{[\sqrt{a(b+c)*a}+\sqrt{b(c+a)*b}+\sqrt{c(a+b)*c} ]^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{2(ab+bc+ca)(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Mà ta có $(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ca)(a+b+c)$
Suy ra $P^2\leq \frac{2*9}{8}=\frac{9}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{2}$
Dấu bằng khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Edited by le_hoang1995, 01-02-2012 - 20:39.