Chủ đề này có 2 trả lời

[ChuDong2008]

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ( Lấy trên Violympic)
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;

[le_hoang1995]

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ( Lấy trên Violympic)
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;

Có thể dùng BĐT cosi
a.
$sin^4x+\frac{1}{4}\geq sin^2x$
Và $cos^4x+\frac{1}{4}\geq cos^2x$

suy ra $cos^4x+sin^4\geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi x=45 độ.

Câu b tương tự

$sin^6x+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3sin^2x}{4}$

Tương tự với cos rồi cộng lại, ta có $sin^6x+cos^6x\geq \frac{1}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi x=45 độ.

Tổng quát $sin^{2n}x+cos^{2n}x\geq \frac{1}{2^{n-1}}$

Dấu bằng xảy ra khi x=45 độ.

[tieulyly1995]

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ( Lấy trên Violympic)
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;

Đặt $sin^{2}x =a, cos^{2}x=b \Rightarrow a,b\geq 0$ và $a+b=1$
a) khi đó : $sin^{4}x +cos^{4}x=a^{2}+b^{2}$
Mà
$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab = 1-2ab\geq 1-\frac{(a+b)^{2}}{2}= \frac{1}{2}$
vậy $min= \frac{1}{2}$
b)khi đó : $sin^{6}x+cos^{6}x=a^{3}+b^{3}$
mà $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)= 1-3ab\geqslant 1-3\frac{(a+b)^{2}}{4}= \frac{1}{4}$

vậy $min= \frac{1}{4}$