Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ( Lấy trên Violympic)
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;
Tìm giá trị nhỏ nhất $ sin ^{4} x + cos^{4} x $
Bắt đầu bởi ChuDong2008, 01-02-2012 - 17:08
#1
Đã gửi 01-02-2012 - 17:08
1 + 1 = 2 thì 2 - ..?... = 1 ? " Đau đầu quá! "
#2
Đã gửi 01-02-2012 - 17:26
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ( Lấy trên Violympic)
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;
Có thể dùng BĐT cosi
a.
$sin^4x+\frac{1}{4}\geq sin^2x$
Và $cos^4x+\frac{1}{4}\geq cos^2x$
suy ra $cos^4x+sin^4\geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi x=45 độ.
Câu b tương tự
$sin^6x+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3sin^2x}{4}$
Tương tự với cos rồi cộng lại, ta có $sin^6x+cos^6x\geq \frac{1}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi x=45 độ.
Tổng quát $sin^{2n}x+cos^{2n}x\geq \frac{1}{2^{n-1}}$
Dấu bằng xảy ra khi x=45 độ.
- perfectstrong, ChuDong2008, minhtuyb và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 01-02-2012 - 17:30
Đặt $sin^{2}x =a, cos^{2}x=b \Rightarrow a,b\geq 0$ và $a+b=1$Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ( Lấy trên Violympic)
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;
a) khi đó : $sin^{4}x +cos^{4}x=a^{2}+b^{2}$
Mà
$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab = 1-2ab\geq 1-\frac{(a+b)^{2}}{2}= \frac{1}{2}$
vậy $min= \frac{1}{2}$
b)khi đó : $sin^{6}x+cos^{6}x=a^{3}+b^{3}$
mà $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)= 1-3ab\geqslant 1-3\frac{(a+b)^{2}}{4}= \frac{1}{4}$
vậy $min= \frac{1}{4}$
- perfectstrong và le_hoang1995 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh