Tìm min S
S= $\frac{x^{3}}{y^{3}+z^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{3}+x^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{3}+y^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanganhtuan96vn: 08-02-2012 - 12:31
$\frac{x^{3}}{y^{3}+z^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{3}+x^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{3}+y^{2}}$
Bắt đầu bởi hoanganhtuan96vn, 03-02-2012 - 16:07
z\
#1
Đã gửi 03-02-2012 - 16:07
hoanganhtuan96vn
-
- Thành viên
-
- 12 Bài viết
Binh nhì
Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z\geqslant 0 & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 & \end{matrix}\right.$
Tìm min S
S= $\frac{x^{3}}{y^{3}+z^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{3}+x^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{3}+y^{2}}$
Tìm min S
S= $\frac{x^{3}}{y^{3}+z^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{3}+x^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{3}+y^{2}}$
#2
Đã gửi 06-02-2012 - 21:28
phuc_90
-
- Thành viên
-
- 438 Bài viết
Sĩ quan
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có $S \geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum xy^3+\sum xz^2}$
Ta có $xy^3=xy . y^2 \leq \dfrac{x^2y^2+y^4}{2}$ và $xz^2 \leq \sqrt{3} \dfrac{x^2z^2+\dfrac{z^2}{3}}{2}$
suy ra $\sum xy^3+\sum xz^2 \leq \left(\dfrac{1}{2}\sum x^4 +\sum x^2y^2\right)+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\sum x^2y^2+\dfrac{1}{2 \sqrt{3}} \sum x^2 \leq \dfrac{1+\sqrt{3}}{3}$
Do đó $S \geq \dfrac{3}{1+\sqrt{3}}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Ta có $xy^3=xy . y^2 \leq \dfrac{x^2y^2+y^4}{2}$ và $xz^2 \leq \sqrt{3} \dfrac{x^2z^2+\dfrac{z^2}{3}}{2}$
suy ra $\sum xy^3+\sum xz^2 \leq \left(\dfrac{1}{2}\sum x^4 +\sum x^2y^2\right)+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\sum x^2y^2+\dfrac{1}{2 \sqrt{3}} \sum x^2 \leq \dfrac{1+\sqrt{3}}{3}$
Do đó $S \geq \dfrac{3}{1+\sqrt{3}}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
- cvp, perfectstrong, Tham Lang và 3 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
