Chủ đề này có 10 trả lời

[anh qua]

Tìm x,y nguyên thỏa mãn: $x^2=y^3-4y$

[nguyenta98]

Tìm x,y nguyên thỏa mãn: $x^2=y^3-4y$

Giải như sau:
$x^2=y^3-4y=y(y-2)(y+2)$
TH1: $y$ lẻ suy ra $gcd(y,y-2)=gcd(y-2,y+2)=gcd(y,y+2)=1$ mà tích chính phương nên mỗi số chính phương
Do vậy $y=a^2,y+2=b^2,y-2=c^2 \rightarrow x=abc$ và $y+2-y=2=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ vô nghiệm
TH2: $y$ chẵn, có 2th nhỏ
Th nhỏ 1: $y=4k$ nên $y-2=4k-2,y+2=4k+2 \rightarrow gcd(y,y-2)=gcd(y-2;y+2)=gcd(y,y+2)=2$ (dễ chứng minh bằng phản chứng, giả sử chúng chia hết cho $p$ nguyên tố)
Mà tích chính phương nên $y=2m^2,y-2=2n^2,y+2=2q^2 \rightarrow y+2-y=2=2(q-m)(q+m)$ suy ra $q=1-1,m=0$ do đó $y=2,-2,x=0$
Th nhỏ 2: $y=4k+2$ nên $x^2=32(2k+1)(k+1)k \rightarrow x=8t \rightarrow 2t^2=(2k+1)(k+1)k$ do vậy $k+1$ hoặc $k$ chẵn
Nếu $k=2r \rightarrow t^2=(4r+1)(2r+1)r$ thấy $gcd(4r+1,2r+1)=gcd(2r+1,r)=gcd(4r+1,r)=1$ mà tích chính phương nên chúng chính phương.
Suy ra $4r+1=h^2,r=j^2 \rightarrow h^2-4j^2=1 \rightarrow (h-2j)(h+2j)=1 \rightarrow h=1,-1,j=0 \rightarrow 4r+1=1 \rightarrow r=0 \rightarrow k=0 \rightarrow y=2,x=0$
Nếu $k=2u+1 \rightarrow t^2=(4u+3)(u+1)(2u+1)$ lại thấy $gcd(4u+3,u+1)=gcd(u+1,2u+1)=gcd(4u+3,2u+1)=1$ mà tích chính phương nên chúng chính phương
Suy ra $4u+3=g^2;u+1=f^2 \rightarrow 4f^2-g^2=1 \rightarrow (2f-g)(2f+g)=1$ bị loại
Vậy tóm lại ta có đáp số $\boxed{(x,y)=(0,2),(0,-2)}$

P/S Nghiệm là $-2;2$ không quan trọng vì nó cũng suy ra từ trên mà thôi! Em đã sửa lại bài, hix anh PSW gây mất lòng quá, anh nói thế mọi người lại tưởng em làm sai!! thiếu nghiệm chẳng qua là ở mấy cái suy ra ở trên em quên nên sót nghiệm! Mong anh xem xét lại cho em được thỏa đáng, hix

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 07-02-2012 - 20:48

[PSW]

trình bày màu mè quá ; nhưng chưa gì đã thấy có gì đó không chuẩn :

$(x;y) =(0 ; -2)$ cũng là nghiệm

[PSW]

anh nói thế vì anh thấy là khi em lạm dụng các màu : xanh lá ; vàng ... trong bài trình bày thì rất khó để người xem dễ dàng theo dõi

Còn nếu bài làm của em ngay từ đầu đáp số đã sai thì ai còn dám xem hả em ???? Trừ phi là em thi ở trường và các thầy cô có trách nhiệm xem để vớt vát xem có gì dùng được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 06-02-2012 - 07:33

[toilaab]

anh nói thế vì anh thấy là khi em lạm dụng các màu : xanh lá ; vàng ... trong bài trình bày thì rất khó để người xem dễ dàng theo dõi

Còn nếu bài làm của em ngay từ đầu đáp số đã sai thì ai còn dám xem hả em ???? Trừ phi là em thi ở trường và các thầy cô có trách nhiệm xem để vớt vát xem có gì dùng được

Nhưng mà hình như bạn nguyenta98 làm đúng rồi còn gì? Mình thấy bạn ấy sửa rồi hay sao ấy chứ, nếu là mod thì không nên ngược đãi thành viên của diễn đàn như vậy, bản thân mình trước đây cũng làm mod ở một diễn đàn, bạn có làm được không, post lời giải đi!!

P/S lần sau bạn nguyenta98 cũng chú ý phóng to phông chữ!

Còn PSW thì lần sau chỉnh đốn ngôn ngữ đi, sai với thiếu là khác hẳn nhau đấy, đừng để mình nặng lời, mình rât tức khi chứng kiến nhiều vụ chời xỏ nhau trên diễn đàn rồi!
Đừng xóa bài này, không phải spam!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilaab: 07-02-2012 - 18:41

[anh qua]

Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn: $x^2=y^3-4y$

Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn: $x^2=y^3-5y$.

Vậy với bài này thì sao nhỉ????
@ All: Mọi người bình tĩnh, chúng ta lên đây để tranh luận không phải để cãi nhau.

[Karl Heinrich Marx]

Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn: $x^2=y^3-5y$.

Vậy với bài này thì sao nhỉ????
@ All: Mọi người bình tĩnh, chúng ta lên đây để tranh luận không phải để cãi nhau.

Ta có:
$$ x^2=y(y^2-5)$$
Từ đây ta có 2 trường hợp:
trường hợp thứ nhất thì $y$ và $y^2-5$ đều là số chính phương. Cái này giải ra đơn giản,
trường hợp 2 thì $y=5k$ và dẫn đến $5k^2-1$ là SCP. Đưa về pt pell:
$$ t^2-5k^2=-1$$
Pt này có nghiệm. Quên béng công thức nghiệm loại này /

[anh qua]

trường hợp 2 thì $y=5k$ và dẫn đến $5k^2-1$ là SCP. Đưa về pt pell:
$$ t^2-5k^2=-1$$
Pt này có nghiệm. Quên béng công thức nghiệm loại này /

Anh thử giải chi tiết ra xem! Đến khúc này coi chừng vẫn còn hóc lắm anh à!

[anh qua]

Anh thử giải chi tiết ra xem! Đến khúc này coi chừng vẫn còn hóc lắm anh à!

p/s: Anh Karl Henirich Marx có thể cho em biết quý tính đại danh không ạ

[Karl Heinrich Marx]

Anh thử giải chi tiết ra xem! Đến khúc này coi chừng vẫn còn hóc lắm anh à!

Đây là pt Pell mà em. nghiệm tổng quát của pt này là:
$$t_n= \frac{(2-\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})^n+(2+\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})^n}{2}$$
$$k_n=\frac{-(2-\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})^n+(2+\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})^n}{2\sqrt{5}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 12-02-2012 - 12:56

[chanh1223]

Đây là pt Pell mà em. nghiệm tổng quát của pt này là:
$$t_n= \frac{(2-\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})^n+(2+\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})^n}{2}$$
$$k_n=\frac{-(2-\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})^n+(2+\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})^n}{2\sqrt{5}}$$

Anh giới thiệu kĩ hơn về phương trình pell giùm em được ko?