Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Một bài bđt khá hay :
Cho $x, y, z$ dương với $x = max(x, y, z)$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x}{y} + \sqrt{1 + \dfrac{y}{x}} + \sqrt[3]{1 + \dfrac{z}{x}} \ge 1 + \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 08-02-2012 - 16:58

[Crystal]

Xem bài này

Cho a,b,c>0 và a là số lớn nhất trong 3 số. Tìm min của :
$$P = \frac{a}{b} + 2\sqrt[2]{{1 + \frac{b}{c}}} + 3\sqrt[3]{{1 + \frac{c}{a}}}$$

$\ a \ge m{\rm{ax}}\{ b,c{\rm{\} }} $
$ \Rightarrow \dfrac{a}{b} \ge 1,0 \le \dfrac{c}{a} \le 1 $
theo BĐT cauchy
$ 1 + \dfrac{b}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{c}} $
$ 1 + \dfrac{c}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{a}} $
từ đó suy ra
$ P \ge \dfrac{a}{b} + 2\sqrt 2 \sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}} + 3\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}} $
tương đương
$ P \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}(\dfrac{a}{b} + 4\sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}} + 6\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}}) + (1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2})\dfrac{a}{b} + 3(\sqrt[3]{2} - \sqrt 2 )\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}} $
mà ta có
$ dfrac{a}{b} + (\sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}} + ... + \sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}}){\rm{[}}4l{\rm{an]}} + (\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}} + .... + \sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}}){\rm{[6}}l{\rm{an]}} \ge 11\sqrt[{11}]{{\dfrac{a}{b}\dfrac{b}{c}\dfrac{c}{a}}} $
lại có
$ (1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}) > 0 $
$ (\sqrt[3]{2} - \sqrt 2 ) < 0 $
vậy
$ P \ge \dfrac{{11\sqrt 2 }}{2} + (1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}) + 3(\sqrt[3]{2} - \sqrt 2 ) $
$ \Rightarrow P \ge 1 + 2\sqrt 2 + 3\sqrt[3]{2}$
dấu=xảy ra khi a=b=c