Chủ đề này có 8 trả lời

[phamvanha92]

Cho các số a,b,c dương CMR:
@@1

$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+ac+bc$
@@2:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+1}\leq 1 $ với abc=1
@@3:

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2ac}\geq a+b+c$
@@4:

$\frac{ab}{a^{2}+b^{2}+ab}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}+ca}\leq 1$
@@5:

$\frac{5a^{2}-c^{2}}{ac+3a^{2}}+\frac{5c^{2}-b^{2}}{bc+3c^{2}}+\frac{5b^{2}-a^{2}}{ab+3b^{2}}\leq a+b+c$
@@6:

$\frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{c+a}+\frac{c}{a+b}> 8$
@@7:

$(1+\frac{1}{a})+(1+\frac{1}{b})+(1+\frac{1}{c})\geq 64$ với a+b+c=1

@@8:

$\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(b+a)}+\frac{ac}{b(b+c)}\geq \frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}\frac{c}{c+b}$

Bài tập lớp 8 ấy các ấy ạ!!! cũng ko khó lắm đâu nhề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-02-2012 - 22:07

[nthoangcute]

Để Tui làm hết cho, dễ ấy mà:
Bài 1:Áp dụng Bunhiacopski ta có:
$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}$
$=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}$
$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}$
$\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}$
$=ab+bc+ca$

[nthoangcute]

Bài 2:
ĐẶt $a=\sqrt[2]{x^3},b=\sqrt[2]{y^3},c=\sqrt[2]{z^3}$
Ta có $x,y,z>0$ và $xyz=1$
Áp dụng $x^3+y^3 \geq xy(x+y)$ thì $x^3+y^3+1 \geq xy(x+y+z)$
Hay $\frac{1}{x^3+y^3+1} \leq \frac{z}{x+y+z}$
CMTT suy ra Vế trái $\leq 1$

[minhtuyb]

@@1: Theo Cauchy:
$\frac{a^3}{b}+ab+a^2\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}.ab.a^2}=3a^2$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng vào ta có:
$\sum \frac{a^3}{b}+\sum ab+\sum a^2\geq 3\sum a^2\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{b}\geq 2\sum a^2-\sum ab\geq \sum ab(Q.E.D)$
Dấu bằng khi $a=b=c$
@@2: $\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq 1$ mới đúng chứ nhỉ?

[nthoangcute]

@@2: $\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq 1$ mới đúng chứ nhỉ?

Bạn chắc chưa biết về sự đánh lừa của bài toán 2:
Khi bạn đặt $a=\sqrt[2]{x^3},b=\sqrt[2]{y^3},c=\sqrt[2]{z^3}$ thì vẫn có $xyz=1$ và đề cũng trờ thành
$\sum \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq 1$
______________________________________________
Ý đồ ở chỗ đó !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 21-02-2012 - 13:47

[ngqhung]

@@3:

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2ac}\geq a+b+c$

Chắc thiếu đk rồi, với $a=b=c >1 $ thì không đúng

[kobietlamtoan]

@@7 nhầm đề rồi bạn ơi
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$ mới đúng
Áp dụng BĐT AM-Gm ta có:

$1+ \frac{1}{3a} + \frac{1}{3a} + \frac{1}{3a}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{27a^{3}}}$

$1+ \frac{1}{3b} + \frac{1}{3b} + \frac{1}{3b}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{27b^{3}}}$

$1+ \frac{1}{3c} + \frac{1}{3c} + \frac{1}{3c}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{27c^{3}}}$

nhân 3 vế trên ta được

$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$

lại có:

$a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow \sqrt[4]{\frac{1}{27^{3}a^{3}b^{3}c^{3}}} \geq 1$

do đó BĐT được c/m

[kobietlamtoan]

@@6:
ta có:

$25 + 16 + 1 + \frac{25a}{b+c} + \frac{16b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = (a+b+c)(\frac{25}{b+c}+\frac{16}{c+a}+\frac{1}{a+b})$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{1}{2}[(a+b)+(b+c)+(c+a)](\frac{25}{b+c}+\frac{16}{c+a}+\frac{1}{a+b}) \geq \frac{(5+4+1)^{2}}{2}= 50$

$\Rightarrow \frac{25a}{b+c} + \frac{16b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq 8$

[ngqhung]

Cho các số a,b,c dương CMR:
@@4:

$\frac{ab}{a^{2}+b^{2}+ab}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}+ca}\leq 1$

$\frac{ab}{a^{2}+b^{2}+ab}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}+ca}$
$\leq \frac{ab}{\frac{3}{4}(a+b)^2}+\frac{bc}{\frac{3}{4}(c+b)^2}+\frac{ca}{\frac{3}{4}(c+a)^2}$
$\leq \frac{\frac{1}{4}(a+b)^2}{\frac{3}{4}(a+b)^2}+\frac{\frac{1}{4}(b+c)^2}{\frac{3}{4}(c+b)^2}+\frac{\frac{1}{4}(c+a)^2}{\frac{3}{4}(c+a)^2}$
$\leq 1$