Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Mọi người cùng giải :
Cho $x, y, z$ là các số thực thoả mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 2$. Chứng minh rằng
$$x + y + z \le xyz + 2$$

[phuc_90]

Ta có $2=x^2+y^2+z^2 \geq x^2+y^2 \geq 2xy$

hay $xy \leq 1$

Theo BĐT Cauchy-Schawarz thì

$\left(x+y+z(1-xy)\right)^2 \leq \left((x+y)^2+z^2\right)\left(1+(1-xy)^2\right)$

$=2(1+xy)(2-2xy+x^2y^2)$

$=2\left(2+x^2y^2(xy-1)\right)$

$\leq 4$

Suy ra $x+y+z-xyz \leq 2$ (đpcm)