Chủ đề này có 5 trả lời

[nthoangcute]

Giả sử x và y là các số nguyên dương sao cho $x^2+y^2+6$ chia hết cho $xy$
Chứng minh $\frac{x^2+y^2+6}{xy}$ là lập phương của một số tự nhiên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-02-2012 - 18:06

[perfectstrong]

Lời giải:
Đặt $k=\dfrac{x^2+y^2+6}{xy}$.
Cố định $k$, xét các bộ $(x;y)$ thỏa mãn $k \in \mathbb{N}$. Chọn bộ $(x;y)$ có tổng nhỏ nhất. Ta sẽ chứng minh khị đó $x=y$.
Giả sử $x>y$.
\[k = \frac{{{x^2} + {y^2} + 6}}{{xy}} \Leftrightarrow {x^2} - kxy + {y^2} + 6 = 0\]
Xét pt bậc 2 ẩn $t$ sau:
\[{t^2} - kyt + {y^2} + 6 = 0\]
Pt này có 2 nghiệm $t$:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = x \\
{t_2} = ky - x = \frac{{{y^2} + 6}}{x} \\
\end{array} \right.\]
Do đó, $t_2 \in \mathbb{N}^*$. Suy ra $(t_2;y)$ cũng là 1 bộ số nguyên dương để $k$ nguyên dương.
Do cách chọn $(x;y)$ ban đầu nên
\[{t_2} + y \ge x + y \Leftrightarrow {t_2} \ge x \Leftrightarrow \frac{{{y^2} + 6}}{x} \ge x \Leftrightarrow {y^2} + 6 \ge {x^2} \Leftrightarrow 6 \ge {x^2} - {y^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \ge 3\]
(do $x-y \geq 1; x+y \geq 2y+1 \geq 3$)
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 3 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 4 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 5 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 6 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 \\
y = 1 \\
\end{array} \right. \Rightarrow k\not \in N \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 4 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2} \\
y = \frac{3}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 5 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3 \\
y = 2 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \Rightarrow k\not \in N \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 6 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{7}{2} \\
y = \frac{5}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 2 \\
x + y = 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2} \\
y = \frac{1}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\end{array} \right.\]
Do đó, điều giả sử là sai. Suy ra $x=y$. Nên
\[k = \frac{{{x^2} + {y^2} + 6}}{{xy}} = \frac{{2{x^2} + 6}}{{{x^2}}} = 2 + \frac{6}{{{x^2}}} \in N \Rightarrow {x^2}|6 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow k = 8:True\]

[nthoangcute]

Lời giải: . . . . . . . . .
Do đó, điều giả sử là sai. Suy ra $x=y$. Nên
\[k = \frac{{{x^2} + {y^2} + 6}}{{xy}} = \frac{{2{x^2} + 6}}{{{x^2}}} = 2 + \frac{6}{{{x^2}}} \in N \Rightarrow {x^2}|6 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow k = 8:True\]

Mình thấy cách của bạn cũng hay nhưng với một học sinh dốt nát như mình thì mình cũng không hiểu cho lắm.
Tình cờ, mình được thầy cô giáo đưa cho cuốn Toán học và Tuổi trẻ (T6/242) năm 1997. Nó cũng cũ lắm rồi. Cách giải cửa nó còn khó hiểu hơn, sau đây là lời giải của nó:
_________________________
Giả sử $x^2+y^2+z^2+6=pxy$ ($p \in \mathbb{Z^+}$) (1)
Trong tất cả các số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn (1), giả sử $(x_ 0, y_ 0)$ là cặp có $x_ 0 + y_ 0$ bé nhất. Không mất tính tổng quát, giả sử $x_ 0 \geq y_ 0$.
Xét phương trình $y^2-p x_ 0 y + x^2_ 0 + 6 = 0$ (2)
Ta thấy $y_ 0$ là nghiệm của (2). Gọi $y_ 1$ là nghiệm còn lại của (2) thì theo định lý Viète có
$\left\{\begin{matrix} y_ 0 + y_ 1 = p x_ 0 \mapsto (3)\\ y_ 0 y_ 1 = x^2_0+6 \mapsto (4) \end{matrix}\right.$
Ta có $(x_0,y_0)$ thỏa mãn (1) do đó $y_0 \geq y_1$.
+) Nếu $x_0=y_0$ thì từ (1) có:
$p=2+\frac{6}{x^2_0} \Rightarrow x_0=1 \Rightarrow p=8$
+) Nếu $y_0=y_1$ thì từ (4) ta có:
$(y_0 - x_0)(y_0+x_0) = 6$.
Điều này không sảy ra vì $y_0-x_0$ và $y_0+x_0$ cùng tính chẵn lẻ mà 6 = 1.6 = 2.3.
+) Nếu $x_0<y_0<y_1$ thì $y_0 \geq x_0 + 1, y_1 \geq x_0 + 2$.
Từ (4) suy ra $x^2_0 + 6 \geq (x_0+1)(x_0+2) \Rightarrow 4 \geq 3 x_0 \Rightarrow y_0y_1=7 \Rightarrow y_0=1$ và $y_1=7$ vô lý vì $x_0 < y_0$.
Tóm lại ta phải có $p=8=2^3$
***) Ghi chú: Có vô số cặp nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn (1). Chẳng hạn xét dãy $(u_n)$ với $u_0 = u_1 =1, u_{n+2} =8 u_{n+1} -u_n$. Khi đó dễ dàng kiểm tra được $(u_n,u_{n+1})$ thỏa mãn (1) với mọi $n$.
___________________________________________________________________________________
Vậy có cách nào dùng kiến thức cấp dưới không ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 23-02-2012 - 19:46

[perfectstrong]

Thực ra đây là phương pháp Vieta Jumping Method (mình không biết dịch tiếng việt thế nào cho phải nên để nguyên văn vậy).
PP này chỉ đơn thuần là cấp 2, sử dụng định lý Viete.
Bạn xem thêm trong link sau:
http://diendantoanho...showtopic=66852

[thanhbui20]

Lời giải:
Đặt $k=\dfrac{x^2+y^2+6}{xy}$.
Cố định $k$, xét các bộ $(x;y)$ thỏa mãn $k \in \mathbb{N}$. Chọn bộ $(x;y)$ có tổng nhỏ nhất. Ta sẽ chứng minh khị đó $x=y$.
Giả sử $x>y$.
\[k = \frac{{{x^2} + {y^2} + 6}}{{xy}} \Leftrightarrow {x^2} - kxy + {y^2} + 6 = 0\]
Xét pt bậc 2 ẩn $t$ sau:
\[{t^2} - kyt + {y^2} + 6 = 0\]
Pt này có 2 nghiệm $t$:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = x \\
{t_2} = ky - x = \frac{{{y^2} + 6}}{x} \\
\end{array} \right.\]
Do đó, $t_2 \in \mathbb{N}^*$. Suy ra $(t_2;y)$ cũng là 1 bộ số nguyên dương để $k$ nguyên dương.
Do cách chọn $(x;y)$ ban đầu nên
\[{t_2} + y \ge x + y \Leftrightarrow {t_2} \ge x \Leftrightarrow \frac{{{y^2} + 6}}{x} \ge x \Leftrightarrow {y^2} + 6 \ge {x^2} \Leftrightarrow 6 \ge {x^2} - {y^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \ge 3\]
(do $x-y \geq 1; x+y \geq 2y+1 \geq 3$)
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 3 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 4 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 5 \\
\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 6 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 \\
y = 1 \\
\end{array} \right. \Rightarrow k\not \in N \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 4 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2} \\
y = \frac{3}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 5 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3 \\
y = 2 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \Rightarrow k\not \in N \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1 \\
x + y = 6 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{7}{2} \\
y = \frac{5}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 2 \\
x + y = 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2} \\
y = \frac{1}{2} \\
\end{array} \right.:False \\
\end{array} \right.\]
Do đó, điều giả sử là sai. Suy ra $x=y$. Nên
\[k = \frac{{{x^2} + {y^2} + 6}}{{xy}} = \frac{{2{x^2} + 6}}{{{x^2}}} = 2 + \frac{6}{{{x^2}}} \in N \Rightarrow {x^2}|6 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow k = 8:True\]

Cho mình hỏi sao chỉ xét (x-y)(x+y) đến giá trị 6 thế?

[thanhbui20]

à hiểu rồi, mình nhầm