$\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$
trích trong đề thi phan bội châu, em cần nhiều cách
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HVADN: 24-02-2012 - 20:04
$\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$
Bắt đầu bởi Poseidont, 22-02-2012 - 21:48
#1
Đã gửi 22-02-2012 - 21:48
Poseidont
-
- Thành viên
-
- 322 Bài viết
Dark Knight
Cho các số thực dương a,b,c.CMR
$\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$
trích trong đề thi phan bội châu, em cần nhiều cách
$\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$
trích trong đề thi phan bội châu, em cần nhiều cách
- MIM, Mai Duc Khai và tkvn97 thích
Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF
#2
Đã gửi 04-03-2012 - 01:02
le_hoang1995
-
- Thành viên
-
- 314 Bài viết
Sĩ quan
Chuẩn hóa $abc=1$
Nhân ra, ta có
$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)=\sum (ab)^3+\sum a^3+3=x$ suy ra $x\geq 9$
$(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)=\sum (ab)^3+\sum a^3+2=x-1$
Thay vào BĐT trên, ta phải chứng minh $\sqrt{x}\geq 1+\sqrt[3]{x-1}\Leftrightarrow \sqrt{x}-1\geq \sqrt[3]{x-1}$
$\Leftrightarrow x\sqrt{x}-3x+3\sqrt{x}-1\geq x-1\Leftrightarrow x+3\geq 4\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)\geq 0$ đúng vì $x\geq 9$
Nhân ra, ta có
$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)=\sum (ab)^3+\sum a^3+3=x$ suy ra $x\geq 9$
$(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)=\sum (ab)^3+\sum a^3+2=x-1$
Thay vào BĐT trên, ta phải chứng minh $\sqrt{x}\geq 1+\sqrt[3]{x-1}\Leftrightarrow \sqrt{x}-1\geq \sqrt[3]{x-1}$
$\Leftrightarrow x\sqrt{x}-3x+3\sqrt{x}-1\geq x-1\Leftrightarrow x+3\geq 4\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)\geq 0$ đúng vì $x\geq 9$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 04-03-2012 - 01:09
- perfectstrong, Nguyễn Hữu Huy, Poseidont và 1 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
